FUNÇÃO AFIM INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

Estudo do sinal da função afim Exemplo f(x) = –3x + 6 para x < 2 temos f(x) > 0, ou seja, a função é positiva para x < 2; para x = 2 temos f(x) = 0, ou seja, a função é nula para x = 2; para x > 2 temos f(x) < 0, ou seja, a função é negativa para x > 2.

Função crescente (a > 0) Estudo do sinal da função afim Função crescente (a > 0) f(x) = 0 para x = f(x) > 0 para x > f(x) < 0 para x <

Função decrescente (a < 0) Estudo do sinal da função afim Função decrescente (a < 0) f(x) = 0 para x = f(x) > 0 para x < f(x) < 0 para x >

Inequações do 1o grau Toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro membro é um polinômio do tipo ax + b (com a ≠ 0) e o segundo membro é zero é chamada de inequação do 1o grau na incógnita x. Exemplos 4x – 3 ≥ 0 8x > 0 – x + 1 ≤ 0 –5x – 0,2 < 0

Resolução de inequações Vamos resolver, no conjunto dos números reais, a inequação 3(x + 2) ≤ 2(2x + 4). 3(x + 2) ≤ 2(2x + 4) 3x + 6 ≤ 4x + 8 3x – 4x + 6 – 8 ≤ 0 –x – 2 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x ≥ –2 Logo, o conjunto solução da inequação é: S = {x  ℝ 𝖨 x ≥ –2}

Resolução de inequações Vamos resolver, de outra maneira, no conjunto dos números reais, a inequação 3(x + 2) ≤ 2(2x + 4).   3(x + 2) ≤ 2(2x + 4) ⇒ x + 2 ≥ 0 f(x) f(x) = 0 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = –2 (zero da função f) f(x) ≥ 0 ⇒ x ≥ –2 O conjunto solução da inequação é: S = {x  ℝ 𝖨 x ≥ –2}

Exemplos 1. Determinar o conjunto solução da inequação . Resolução 4x + 16 – 9x – 6 0 –5x + 10 ≥ 0 ⇒ –5x ≥ –10 ⇒ x ≤ 2   Assim, o conjunto solução da inequação é: S = {x  ℝ 𝖨 x ≤ 2}

Inequação-produto f(x) ∙ g(x) > 0 f(x) ∙ g(x) ≥ 0 Exemplos (89x + 1) ∙ ≥ 0 (0,45x – 7) ∙ (8 – 2x) < 0 (3x + 4) ∙

Inequação-quociente Exemplos

Resolução de inequação-produto Vamos resolver (x + 1) ∙ (3x – 2) < 0, em ℝ. f(x) g(x) 14243 Para f(x) ∙ g(x) < 0 ⇒

Resolução de inequação-produto Quadro de sinais Então, o conjunto solução da inequação (x + 1) ∙ (3x – 2) < 0 é:

Exemplos 2. Resolver, em ℝ, a inequação quociente . Resolução O denominador deve ser diferente de zero: 2  x  0  x  2 Consideramos: f(x) = x + 7 e g(x) = 2 – x Para que o quociente seja negativo, devemos ter: f(x) > 0 e g(x) < 0 ou f(x) < 0 e g(x) > 0   

Logo: S = {x  ℝ 𝖨 x < 7 ou x > 2} Resolução Raiz de f: x + 7 = 0 ⇒ x = –7 Raiz de g: 2 – x = 0 ⇒ x = 2 Logo: S = {x  ℝ 𝖨 x < 7 ou x > 2}

Exemplos 3. Resolver a inequação , em ℝ. Resolução Neste caso, não devemos cometer o erro de estudar os sinais das funções y = 2  5x e y = x + 1. O quadro de sinais só pode ser usado quando a inequação-quociente tem o segundo membro igual a zero. Então fazemos:

f(x) ≥ 0 e g(x) < 0 ou f(x) ≤ 0 e g(x) > 0 Resolução Consideramos f(x) = –4x + 3 e g(x) = x + 1. Então, para que o quociente seja negativo ou nulo, devemos ter: f(x) ≥ 0 e g(x) < 0 ou f(x) ≤ 0 e g(x) > 0

Resolução ]–∞, –1[ Logo: S =

Inequações simultâneas Vamos resolver, no conjunto dos números reais, as inequações simultâneas 3 ≤ 2x – 2 < x + 5. Devemos encontrar a solução das inequações (I) e (II): (I) 3 + 2 ≤ 2x ⇒ 5 ≤ 2x ⇒ x ≥ . SI = (II) 2x – x < 5 + 2 ⇒ x < 7. SII = S = ou S =

Exemplos 4. Resolver, em ℝ, o sistema de inequações: Resolução Vamos resolver cada uma das inequações do sistema: (I) x – (3 + 2x) < 4  x – 3 – 2x < 4  –x < 7  x > –7 Portanto: SI = (II) 7x – x2 ≥ –x(x – 4) – 9  7x – x2 ≥ –x2 + 4x – 9 3x ≥ –9  x ≥ –3 Portanto: SII =

Resolução Agora faremos a intersecção das soluções de cada uma das inequações: Logo, o conjunto solução do sistema é: S = ou S = [–3, ∞]

Domínio de uma função por meio de inequações Observe como determinamos o domínio da função dada pela lei y =  . y = radicando de índice par não pode ser negativo.  0  x Então: D =   3.32

Exemplos 5. Encontre o domínio da função y = . Resolução Como o denominador de expressões fracionárias não pode ser zero, devemos ter: f(x) g(x) e x – 7 ≠ 0 Logo: D =

Exercícios      

Para quais valores de x o lucro será maior que R$ 280,00? 2) Determine a soma dos números naturais que satisfazem a desigualdade a seguir. Respostas: 2) a) 3 b) 7 3) a) f(x) = 5x – 230 b) x < 46; o comerciante terá prejuízo se vender menos de 46 unidades. c) x > 102 d) 66 < x < 82   3) Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Responda: Qual a lei dessa função? Para quais valores de x tem-se f(x) < 0? Como pode ser interpretado esse caso? Para quais valores de x o lucro será maior que R$ 280,00? Para quais valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00?