Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Métodos Numéricos para Engenharia Química Métodos Numéricos para Engenharia Química Prof. Nilton Silva Aula 05

Raízes de equações não lineares Introdução Reízes de equações Métodos aplicados a determinação numérica de raízes de equações não lineares: – Método da Bissecção – Falsa posição – Método de Newton – Método da Secante Introdução Reízes de equações Métodos aplicados a determinação numérica de raízes de equações não lineares: – Método da Bissecção – Falsa posição – Método de Newton – Método da Secante

Raízes de equações não lineares Definições Uma função dada por y = f ( x ) é ALGÉBRICA, se somente se, pode ser expressa na formato: Onde f i = a n i-ésima-ordem polinominal em x. Ex.: Polinômios são umas das classes simples de equações algébricas. Definições Uma função dada por y = f ( x ) é ALGÉBRICA, se somente se, pode ser expressa na formato: Onde f i = a n i-ésima-ordem polinominal em x. Ex.: Polinômios são umas das classes simples de equações algébricas.

Raízes de equações não lineares Definições Uma função NÃO-ALGÉBRICA, pode ser dita TRASNCENDENTAL, inclui as trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, entre outras funções menos familiares. Ex.: Definições Uma função NÃO-ALGÉBRICA, pode ser dita TRASNCENDENTAL, inclui as trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, entre outras funções menos familiares. Ex.:

Raízes de equações não lineares As raízes das equações podem ser real ou complexa. Os métodos padrão para localização de raízes podem ser divididos em dois tipos: 1.Determinação de raízes reais de equações algébricas e de equações transcendentais; 2.Determinação das raízes real e complexa de polinômios. As raízes das equações podem ser real ou complexa. Os métodos padrão para localização de raízes podem ser divididos em dois tipos: 1.Determinação de raízes reais de equações algébricas e de equações transcendentais; 2.Determinação das raízes real e complexa de polinômios.

Raízes de equações não lineares As raízes de uma equação podem ser visualizadas pelo método gráfico:

Método gráfico Problema 01 - Use a abordagem gráfica para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Problema 01 - Use a abordagem gráfica para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Solução A função que expressa o coeficiente de arrasto pode ser expressa por: Solução A função que expressa o coeficiente de arrasto pode ser expressa por: Usar o Excel!!! Usar o Matlab!!!

Método gráfico As técnicas gráficas tem limitação prática devido a não precisão. Mas, podem ser utilizado para estimativas das raízes. Podem ser empregadas como entrada do método numérico. As técnicas gráficas tem limitação prática devido a não precisão. Mas, podem ser utilizado para estimativas das raízes. Podem ser empregadas como entrada do método numérico. Estratégias especiais devem ser utilizadas para determinação das raízes para estes casos.

Método gráfico - Exemplos 1 – A função, tem várias raízes no range de x = 0 a x = 5. Use o método gráfico para avaliar o comportamento da função. (Excel, Matlab). Usar o Excel!!! Usar o Matlab!!!

Método da BISSEÇÃO O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida ao meio. Etapas do método: 1 – Escolha um valor inferior x l e um superior x u e verificar se reside no intervalo a raiz de tal forma que a função muda durante o intervalo. Isto pode ser verificado, garantindo que f(x i )f(x u ) < 0. 2 – Uma estimativa para a raiz x r é determinado por: 3 – Fazer as seguinte avaliações para determinar em que intervalo reside a raiz: 3.1 – se f(x i )f(x r ) < 0, a raiz reside no intervalo abaixo. Assumir x u = x r e voltar para o passo – se f(x i )f(x r ) > 0, a raiz reside no intervalo acima. Assumir x i = x r e voltar para o passo – se f(x i )f(x r ) = 0, a raiz é igual a x r, a raiz numérica. O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida ao meio. Etapas do método: 1 – Escolha um valor inferior x l e um superior x u e verificar se reside no intervalo a raiz de tal forma que a função muda durante o intervalo. Isto pode ser verificado, garantindo que f(x i )f(x u ) < 0. 2 – Uma estimativa para a raiz x r é determinado por: 3 – Fazer as seguinte avaliações para determinar em que intervalo reside a raiz: 3.1 – se f(x i )f(x r ) < 0, a raiz reside no intervalo abaixo. Assumir x u = x r e voltar para o passo – se f(x i )f(x r ) > 0, a raiz reside no intervalo acima. Assumir x i = x r e voltar para o passo – se f(x i )f(x r ) = 0, a raiz é igual a x r, a raiz numérica.

Método da BISSEÇÃO O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida ao meio. Etapas do método: O método de bissecção (redução binário, redução intervalo, Bolzano), é um tipo de método de pesquisa incremental em que o intervalo é sempre dividida ao meio. Etapas do método:

Método da BISSEÇÃO Problema 01 - Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Problema 01 - Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Usar o Excel!!! Usar o Matlab!!!

Método da BISSEÇÃO Critério de parada e estimativa de erros Uma aproximação do ERRO RELATIVO PERCENTUAL pode ser calculado por: Onde x r new é a raiz para a nova iteração e x r old a raiz da iteração anterior. Logo, um CRITÉRIO DE PARADA será para quando  a se torna menor valor. Critério de parada e estimativa de erros Uma aproximação do ERRO RELATIVO PERCENTUAL pode ser calculado por: Onde x r new é a raiz para a nova iteração e x r old a raiz da iteração anterior. Logo, um CRITÉRIO DE PARADA será para quando  a se torna menor valor.

Método da BISSEÇÃO Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Considerar um critério de parada  a = 0.5(%). Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Use o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto c necessário para um paraquedista de massa m = 68,1 kg para ter uma velocidade de 40 m/s, após queda livre para o tempo t = 10 s. Considerar um critério de parada  a = 0.5(%). Nota: A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s 2. Usar o Excel!!! Usar o Matlab!!!

Método da BISSEÇÃO FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea) iter 0 DO xrold = xr xr = (xl + xu) / 2 iter = iter 1 IF xr ≠ 0 THEN ea = ABS((xr - xrold) / xr) * 100 END IF test = f(xl) * f(xr) IF test < 0 THEN xu = xr ELSE IF test > 0 THEN xl = xr ELSE ea = 0 END IF IF ea = imax EXIT END DO Bisect xr END Bisect FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea) iter 0 DO xrold = xr xr = (xl + xu) / 2 iter = iter 1 IF xr ≠ 0 THEN ea = ABS((xr - xrold) / xr) * 100 END IF test = f(xl) * f(xr) IF test < 0 THEN xu = xr ELSE IF test > 0 THEN xl = xr ELSE ea = 0 END IF IF ea = imax EXIT END DO Bisect xr END Bisect Construir o algoritmo em fluxograma!! %Impletmentar no matlab!!