Estatística Aplicada Fazer um trabalho com os alunos onde eles devem pesquisar sobre a media geométrica, média harmônica, etc...

Unidade 4 Medidas Resumo

Medidas de Tendência Central Uma medida da tendência central é um valor que representa uma entrada típica ou central do conjunto de dados. As três medidas da tendência central mais comumente usadas são a média, a mediana e a moda.

𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑛 ou μ= 𝑥 𝑖 𝑁 Média Aritmética Simples ( 𝑿 ou 𝝁 ) É o valor obtido somando-se todos eles e dividindo-se o total pelo número de valores. A média aritmética para DADOS NÃO-TABULADOS ou DADOS NÃO AGRUPADOS, é dada por: 𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑛 ou μ= 𝑥 𝑖 𝑁 para amostra para população

Média Aritmética Simples – Exemplo Calcular a média aritmética simples das temperaturas máximas, em graus Celsius, registradas por um engenheiro ambiental durante 6 dias consecutivos, em determinada localidade: 32, 18, 22, 27, 20 e 38. Resposta: 𝑋 = 32+18+22+27+20+38 6 =26,17 𝐶  

Média Aritmética Ponderada – Exemplo Determinada empresa possui três categorias de salários em seu quadro de 120 empregados, sendo que 30 deles recebem R$ 1.000,00 cada um, 50 recebem R$ 1.300,00 cada um e 40 recebem R$ 1.700,00 cada um. Determine o salário médio de todos esses empregados. Resposta: Categoria Empregados (f) Salários (x) xi.fi A 30 1.000,00 30.000,00 B 50 1.300,00 65.000,00 C 40 1.700,00 68.000,00 Total () 120   163.000,00 Em média, cada funcionário recebe R$ 1.358,33.

Média Aritmética para Intervalos de Classes – Exemplo Para a tabela de frequências abaixo, dos pesos dos 60 funcionários, calcule a média aritmética.   𝑥 = 𝑓 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 = 4.380 60 =73,0 𝑘𝑔

Propriedades da Média Aritmética 1ª: Para um dado conjunto de números, a média é única; Exemplo: seja a distribuição X = {2, 4, 6, 10, 23} Calculando a média aritmética: Neste caso, a média aritmética será 9, e somente 9.

Propriedades da Média Aritmética 2ª: A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se modifica, a média também se modifica; Exemplo: seja X = {2, 4, 6, 10, 23} Calculando a média aritmética: Observe que o resultado da média mudou de 9 para 11, após alterar o último valor do conjunto, de 23 para 33. 33 alterando

Propriedades da Média Aritmética 3ª: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a cada valor do con-junto, a média ficará aumentada (ou diminuída) do valor dessa constante; Exemplo: seja o conjunto X = {5, 8, 9, 12, 16}, com Vamos criar o conjunto Z a partir de X para aplicarmos a propriedade: Sendo Z = X + 3, então Z = {8, 11, 12, 15, 19} Calculando a média de Z...

Propriedades da Média Aritmética A média aritmética de X, que era 10, no conjunto Z foi igual a 13, devido ao aumento de 3 unidades em cada elemento do conjunto X. Sem precisarmos criar o conjunto Z de forma explícita, podemos aplicar o conhecimento adquirido com esta propriedade, da seguinte forma: Seja e Z = X + 3, qual é o valor de ? Faz-se logo,

Propriedades da Média Aritmética 4ª: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. Exemplo: seja o conjunto X = {5, 8, 9, 12, 16}, com Vamos criar o conjunto Z a partir de X para aplicarmos a propriedade: Sendo Z = 3X, então Z = {15, 24, 27, 36, 48} Calculando a média de Z...

Propriedades da Média Aritmética A média de X, que era 10, no conjunto Z foi igual a 30, devido à multiplicação de cada elemento do conjunto X por 3. Sem precisarmos criar o conjunto Z de forma explícita, podemos aplicar o conhecimento adquirido com esta propriedade, da seguinte forma: Seja e Z = 3X, qual é o valor de ? Faz-se logo,

Propriedades da Média Aritmética 5ª: A soma dos desvios de cada valor da distribuição em relação à média é zero: Exemplo: seja o conjunto X = {5, 8, 9, 12, 16}, com Organizando os valores de X e os desvios médios ( 𝑋 𝑖 − 𝑋 ) em uma tabela, podemos verificar que: 𝑋 𝑖 𝑋 𝑖 − 𝑋 5 5 8 2 9 1 12 2 16 6 Total

Medidas de Tendência Central – Mediana ( Md ou 𝑿 ) É uma medida que se localiza no centro da distribuição. Os dados da distribuição devem estar em ordem crescente ou decrescente. Ilustração da mediana. xmín xmáx Md 50% dos dados n

Mediana para dados brutos Ao se trabalhar com uma série de dados brutos, para se calcular a mediana, devemos seguir basicamente 2 passos. 1º passo: organizar a série (em ordem crescente ou decrescente). 2º passo: verificar se o número de elementos da série ( n ) é par ou ímpar. se n é ímpar, o valor da mediana é o valor do termo central. se n é par, o valor da mediana é a média aritmética dos dois termos que se localizam no centro da série.

Mediana para dados brutos Exemplo: determine a mediana das seguintes temperaturas diárias, em graus Celsius, registradas em determinada localidade: 18, 20, 20, 21, 24, 26, 29, 29, 29, 29, 30, 33, 35. Solução: Observe que temos 13 registros de temperatura. Logo, a posição da mediana é dada por 𝑃 𝑚𝑑 = 𝑛+1 2 = 13+1 2 =7º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜

Mediana para dados brutos Exemplo: determine a mediana das seguintes idades: 28, 35, 38, 40, 42, 43, 46, 50, 50, 58 Solução: Observe que temos 10 registros de idades. Logo, a mediana é calculada pela média aritmética entre os termos 𝑛 2 𝑒 𝑛 2 +1= 10 2 𝑒 10 2 +1=5º 𝑒 6º Logo, 𝑀𝑑= 42+43 2 =42,5

Mediana para distribuição de frequência por valores Exemplo5: calcule a mediana na distribuição abaixo que indica o número de acidentes ocorridos com 37 motoristas de uma empresa de ônibus. 2º passo: como n = 37, para (n + 1)/2 temos (37+1)/2 = 19, ou seja, Md = 19º termo, logo, pela Fi (igual a 30), concluímos que Md = 2. Solução: 1º passo: observe que a variável nº de acidentes já apresenta seus valores (0 a 3) organizados na 1ª coluna. 1º ao 8º termo 9º ao 17º termo 18º ao 30º termo 31º ao 37º termo

Mediana para distribuição por intervalos de classes Ao se trabalhar com uma distribuição de frequências por intervalos de classe, devemos seguir basicamente 4 passos. 1º passo: calculamos as frequências absolutas acumuladas (Fi). 2º passo: calculamos a posição da mediana por n/2. 3º passo: identificamos a classe em que Fi  n/2. Tal classe será a classe da mediana. 4º passo: calculamos a mediana pela seguinte fórmula:

Mediana para distribuição por intervalos de classes Exemplo: calcule a mediana a partir da distribuição de frequência abaixo. Solução: 1º passo: calcular os valores de Fi. 2º passo: calcular n/2, então 60/2 = 30. 3º passo: localizar a classe com Fi  n/2. 4º passo: aplicar a fórmula 3 7 15 26 45 5559 60

Medidas de Tendência Central – Moda ( Mo ) A moda de um conjunto de valores (moda para dados não tabulados) é o valor que mais se repete. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única. Exemplo: determinar a moda para cada um dos seguintes conjuntos de números. a) 3, 3, 6, 7, 11, 11, 11, 13, 14, 17 Mo = 11 (unimodal)   b) 2, 6, 7, 11, 14, 15, 18, 19 não tem moda (amodal) c) 5, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 11 Mo = 8 e 11 (bimodal)

Medidas de Tendência Central – Moda ( Mo ) Para calcularmos a moda para distribuições por intervalos de classes, utilizamos um dos métodos a seguir: 1ª estimativa: Moda de PEARSON (Karl Pearson)   É dada pela seguinte relação empírica: 𝑴𝒐=𝟑.𝑴𝒅 – 𝟐 𝑿 2ª estimativa: Moda de CZUBER (Emanuel Czuber) É dada pela fórmula: 𝑴𝒐= 𝒍 𝒊 + ∆𝒂 ∆𝒂+∆𝒑 .𝒉

Moda para uma distribuição por intervalos de classes Exemplo: determine a moda pelas duas estimativas estudadas, para a seguinte tabela. Solução: Classe modal: 73 |--- 82 Moda simples = 73+82 2 =77,5 Moda por Czuber 𝑀𝑜=73+ 8 8+9 .9=77,24 li = 73 ; a = 19 – 11 = 8; p = 19 – 10 = 9 h = 82 – 73 = 9. Classes fi 37 |--- 46 3 46 |--- 55 4 55 |--- 64 8 64 |--- 73 11 73 |--- 82 19 82 |--- 91 10 91 |--- 100 100 |--- 109 1

Treinando o que aprendemos! Exercícios Propostos

Questão 1 Uma arquiteta participou de um concurso público no qual a prova foi subdividida em três partes (A, B e C), cujos pesos e respectivas notas obtidas nas partes dessa prova estão anotados na tabela abaixo. Calcular a média obtida por essa arquiteta nesse concurso.

Questão 2 Um engenheiro civil selecionou uma certa amostra de traços de concreto para verificar os tempos, em horas, necessários para a secagem completa (cura) dos mesmos. A tabela de frequência abaixo apresenta esses tempos e as respectivas quantidades de traços de concreto. Calcular a média aritmética desses tempos.

Questão 3 Temperatura máxima, em graus Celsius, registrada em 11 dias aleatoriamente escolhidos, durante o verão do ano anterior, em determinada localidade: 21, 23, 23, 25, 27, 28, 29, 29, 30, 33 e 35. Determine a mediana.

Questão 4 Nível de ruído, em decibéis, para uma amostra de 70 aparelhos. Determinar a mediana.

Questão 5 Calcule a mediana para a seguinte tabela de frequências, referente às idades de um grupo de operários.

Questão 6 A tabela de frequências abaixo apresenta os dados correspondentes aos tempos, em meses, de vida útil de uma amostra de bombas de combustível de automóveis de determinada marca e modelo. Calcular: a) Média aritmética b) Mediana c) Moda de Czuber

Figura 1: Distribuição simétrica Medidas de Assimetria Com base nas medidas de tendência central já estudadas, podemos classificar a assimetria da curva de frequência segundo os casos a seguir: Figura 1: Distribuição simétrica Figura 2: Distribuição assimétrica à esquerda Figura 3: Distribuição assimétrica à direita

Medidas Separatrizes Separatriz (ou quantil) é a medida de posição que divide uma distribuição em partes iguais, sendo que os dados dessa distribuição devem estar ordenados (ordem crescente).   Das medidas de posição, destacamos as seguintes separatrizes: (1) os 3 quartis, que dividem uma distribuição em quatro partes iguais, cada uma com 25% dos dados:

Medidas Separatrizes (2) os 9 decis, que dividem uma distribuição em dez partes iguais, cada uma com 10% dos dados: (3) os 99 centis ou percentis, que dividem uma distribuição em cem partes iguais cada uma com 1% dos dados: Note que: a) Md = Q2 = D5 = C50 (correspondem a 50% dos dados) b) Q1 = C25 (correspondem a 25% dos dados) c) Q3 = C75 (correspondem a 75% dos dados)

Medidas Separatrizes – K-ésimo percentil Procedimentos para calcular o k-ésimo percentil: 1. Ordene os escores em ordem. 2. Em seguida, multiplique k por cento pelo número total de casos mais um ( n + 1): 𝑅= 𝑘 100 𝑛+1   3. Se o valor resultante for um número inteiro: • Então o k-ésimo percentil será o R-ésimo elemento do rol de escores.

Medidas Separatrizes – K-ésimo percentil Se o valor resultante não for um número inteiro o k-ésimo percentil é obtido por interpolação: • Denote por IR a porção inteira de R, e por FR a porção fracionária de R. Por exemplo, se R = 2,25, então IR = 2 e FR = 0,25. • Denote por XIR e XIR + 1 os escores das posições IR e IR + 1, respectivamente. • O k-ésimo percentil será computado como:   𝑘−é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙= 𝑋 𝐼𝑅 +𝐹𝑅 𝑋 𝐼𝑅+1 − 𝑋 𝐼𝑅

Medidas Separatrizes – K-ésimo percentil Exemplo: calcular o 37º percentil de uma amostra de 78 elementos:  Ordenamos a amostra em ordem crescente;  Calculamos R:   𝑅= 𝑘 100 𝑥+1 = 37 100 78+1 =29,23  IR = 29, FR = 0,23  O 37º percentil corresponderá a 23/100 da distância entre o 29º e o 30º casos: 𝑃 37 = 𝑋 29 +0,23 𝑋 30 − 𝑋 29

Medidas Separatrizes – K-ésimo percentil Exemplo: calcular o 25º percentil da amostra representada na tabela abaixo:    Calculamos R: 𝑅= 𝑘 100 𝑥+1 = 25 100 8+1 =2,25    IR = 2, FR = 0,25  O 25º percentil corresponderá a 25/100 da distância entre o 2º e o 3º casos: 𝑃 25 = 𝑋 2 +0,25 𝑋 3 − 𝑋 2 =5+0,25 7−5 =5,5

Separatrizes para distribuições por intervalos de classes O processo para se calcular os 3 quartis, os 9 decis e os 99 centis (ou percentis) nas tabelas de frequências é o mesmo que o da mediana, diferenciando apenas nas partes proporcionais de N (número total de dados).  

Separatrizes para distribuições por intervalos de classes Exemplo: a tabela de frequências abaixo apresenta o nível máximo de ruído, em decibéis, medido por um engenheiro eletricista, ocasionado por uma amostra de 72 geradores de energia elétrica de baixa potência, medidos durante certo período de tempo. Determine Q1, D2 e C59.

Medidas de Dispersão São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores em torno da média, pois é muito comum encontrarmos séries que, apesar de terem a mesma média, são formadas por valores bastante distintos.

Medidas de Dispersão Sejam as séries: a) 20, 20, 20 e b) 15, 10, 20, 25, 30, Tem-se: 𝑋 𝑎 = 𝑋 𝑏 =20. Apesar de as séries terem médias iguais, na série “a” não se tem dispersão, enquanto os valores da série “b” apresentam dispersões em torno da média 20. Assim, a média é muito mais representativa para a série “a” do que para a série “b”.

Dentre as diversas medidas de dispersão existentes, temos:   – Amplitude Total ( AT ) – Variância ( S² ou ² ) – Desvio Padrão ( S ou  ) – Coeficiente de Variação ( CV ) Vamos estudar a seguir cada uma delas. Pode ser feito um trabalho de pesquisa com os alunos onde eles devem apresentar outras medidas de dispersão diferente das estudadas aqui, como desvio interquartil, desvio médio absoluto etc.

Medidas de Dispersão – Amplitude Total (AT) É a diferença entre o maior e o menor valor de uma série.   Fórmula: AT = Xmáx - Xmín Exemplo: para a série 25, 28, 31, 34, 37, temos: AT = 37 – 25 = 12 A utilização da amplitude total como medida de dispersão é muito limitada, pois, sendo uma medida que depende apenas dos valores externos, é instável, não sendo afetada pela dispersão dos valores internos.

Medidas de Dispersão – Variância Neste caso considera-se o quadrado de cada desvio 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 , evitando com isso que 𝑥 𝑖 − 𝑥 =0. A seguir, as fórmulas utilizadas para o cálculo da variância são: Populacional 𝜎 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 . 𝑓 𝑖 𝑁 ou 𝜎 2 = 1 𝑁 𝑥 𝑖 2 . 𝑓 𝑖 − 𝑥 𝑖 . 𝑓 𝑖 2 𝑁 Amostral 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 . 𝑓 𝑖 𝑛−1 ou 𝑠 2 = 1 𝑛−1 𝑥 𝑖 2 . 𝑓 𝑖 − 𝑥 𝑖 . 𝑓 𝑖 2 𝑛

Fórmulas para o desvio-padrão Medidas de Dispersão – Desvio padrão A partir da variância, se a unidade da variável for, por exemplo, metro (m) teremos como resultado metro ao quadrado (m2). Para se ter a unidade original, necessita-se definir outra medida de dispersão, que é a raiz quadrada da variância – o desvio-padrão. Assim:  Fórmulas para o desvio-padrão 𝜎= 𝜎 2 𝑠= 𝑠 2 Populacional Amostral

Medidas de Dispersão – Avaliação Prática Exemplo: para comparar dois métodos de alfabetização, A e B, um professor dividiu um conjunto de alunos similares (em relação à capacidade de aprender) em dois grupos. Depois, alfabetizou os alunos de um grupo pelo método A e os do outro pelo método B. Terminado o período de alfabetização, o professor submeteu os dois grupos de alunos à mesma prova. Os alunos obtiveram, nessa prova, as notas apresentadas na Tabela 1. Tabela 1 – Notas dos alunos segundo método de alfabetização. A 6 5 7 3 2 4 8 B 9

Medidas de Dispersão – Avaliação Prática As médias das notas da Tabela 1 estão apresentadas na Tabela 2. Observe que os alunos alfabetizados pelo método B obtiveram, em média, notas maiores que os alunos alfabetizados pelo método A. Tabela 2 – Médias das notas dos alunos segundo o método de alfabetização. Método A B Médias 5,0 7,0

Medidas de Dispersão – Avaliação Prática Os cálculos intermediários neces-sários para a obtenção das variân-cias dos dados apresentados na Tabela 1 estão na Tabela 3. Tabela 3 – Cálculos para obtenção das variâncias dos dados da Tabela 1. A B 𝑥 1 𝑥 1 2 𝑥 2 𝑥 2 2 6 36 7 49 5 25 9 81 3 2 4 16 8 64 40 228 56 404

Medidas de Dispersão – Avaliação Prática Agora é fácil calcular: a) a variância do método A: 𝑠 1 2 = 228− 40 2 8 7 =4,00   b) a variância do método B: 𝑠 2 2 = 404− 56 2 8 7 =1,7143 c) o desvio padrão do método A: 𝑠 1 = 4,00 =2,00 d) o desvio padrão do método B: 𝑠 2 = 1,7143 =1,31 O professor pode concluir que as notas dos alunos alfabetizados pelo método A têm maior variabilidade do que as notas dos alunos alfabetizados pelo método B.

Desvio padrão para distribuição por interv. de classes Exemplo: calcule o desvio padrão a partir dos dados na tabela abaixo Salários semanais para 100 operários não especializados, Academia Sinergia, Março de 2013 Salário 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒇 𝒊 .𝒙𝒊 𝒙 𝒊 𝟐 𝒙 𝒊 𝟐 𝒇 𝒊 140 |-- 160 7  150 1050  22500 157500 160 |-- 180 20 180 |-- 200 33 200 |-- 220 25 220 |-- 240 11 240 |-- 260 4 Total 100

Desvio padrão para distribuição por interv. de classes Exemplo: calcule o desvio padrão a partir dos dados na tabela abaixo Salários semanais para 100 operários não especializados, Academia Sinergia, Março de 2013 Salário 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒇 𝒊 .𝒙𝒊 𝒙 𝒊 𝟐 𝒙 𝒊 𝟐 𝒇 𝒊 140 |-- 160 7  150 1050  22500 157500 160 |-- 180 20  170 3400  28900 578000 180 |-- 200 33  190  6270 36100 1191300 200 |-- 220 25  210  5250 44100 1102500 220 |-- 240 11  230  2530 52900 581900 240 |-- 260 4  250  1000 62500 250000 Total 100    19500 247000 3861200

Medidas de Dispersão – Coeficiente de Variação ( CV ) Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação de termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. É dado por: 𝐶𝑉= 𝜎 𝜇 ×100 𝐶𝑉= 𝑆 𝑥 ×100 Populacional Amostral

Coeficiente de Variação ( CV ) Exemplo: numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00, com desvio-padrão de R$ 1.500,00, e o das mulheres é em média de R$ 3.000,00, com desvio-padrão de R$ 1.200,00. Então: para os homens: 𝐶 𝑉 𝐻 = 1.500 4.000 ×100=37,5% para as mulheres: 𝐶 𝑉 𝑀 = 1.200 3.000 ×100=40% Logo, podemos concluir que os salários das mulheres apresentam maior dispersão relativa que os dos homens.

Coeficiente de Variação ( CV ) Diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade (dispersão) quando o coeficiente der até 10%; média dispersão quando estiver acima de 10% até 20%; e grande dispersão quando superar 20%. Alguns analistas consideram:   – Baixa variabilidade: CV < 15% – Média variabilidade: 15% ≤ CV < 30% – Alta variabilidade: CV ≥ 30%

Coeficiente de Variação ( CV ) Exemplo: para duas emissões de ações ordinárias da indústria eletrônica, o preço médio diário, no fechamento dos negócios, durante um período de um mês, para as ações A, foi de R$ 150,00 com um desvio padrão de R$ 5,00. Para as ações B, o preço médio foi de R$ 50,00 com um desvio padrão de R$ 3,00. Em relação ao nível do preço, qual dos tipos de ações é mais variável? Solução: Conclui-se que o preço diário das ações B se apresentou mais variável.

Treinando o que aprendemos! Exercícios Propostos

Questão 1 O número de carros vendidos por cada um dos vendedores de um negócio de automóveis durante um mês particular, em ordem crescente: 2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15. Determine: a) A média; c) O desvio padrão amostral; b) A variância; d) O coeficiente de variação. Resolução: a) 𝑋 = 𝑥 𝑖 𝑛 = 2+4+7+10+10+10+12+12+14+15 10 =9,60

Questão 1 O número de carros vendidos por cada um dos vendedores de um negócio de automóveis durante um mês particular, em ordem crescente: 2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15. Determine: a) A média; c) O desvio padrão amostral; b) A variância; d) O coeficiente de variação. Resolução: b) 𝑆 2 = 1 𝑛−1 𝑥 𝑖 2 − 𝑥 𝑖 2 𝑛 = 1 10−1 1078− 96 2 10 =17,38

Questão 1 O número de carros vendidos por cada um dos vendedores de um negócio de automóveis durante um mês particular, em ordem crescente: 2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15. Determine: a) A média; c) O desvio padrão amostral; b) A variância; d) O coeficiente de variação. Resolução: c) S= 𝑆 2 = 17,38 =4,17

Questão 1 O número de carros vendidos por cada um dos vendedores de um negócio de automóveis durante um mês particular, em ordem crescente: 2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15. Determine: a) A média; c) O desvio padrão amostral; b) A variância; d) O coeficiente de variação. Resolução: d) CV= 𝑆 𝑋 ×100= 4,17 9,60 ×100=43,44%

Questão 2 Em conjunto com uma auditoria anual, uma firma de contabilidade pública anota o tempo necessário para realizar a auditoria de 50 balanços contábeis. Calcule: a) a média b) a variância c) o desvio padrão Tempo de auditoria. (min.) Nº de balanços. (fi) 10 |-- 20 3 20 |-- 30 5 30 |-- 40 10 40 |-- 50 12 50 |-- 60 20 Total 50

Questão 2 Em conjunto com uma auditoria anual, uma firma de contabilidade pública anota o tempo necessário para realizar a auditoria de 50 balanços contábeis. Calcule: a) a média b) a variância c) o desvio padrão a) Solução: b) c) Tempo (min.) 𝒇 𝒊 𝒙 𝒊 𝒙 𝒊 . 𝒇 𝒊 𝒙 𝒊 𝟐 𝒙 𝒊 𝟐 . 𝒇 𝒊 10 |--- 20 3 15 45 225 675 20 |--- 30 5 25 125 625 3125 30 |--- 40 10 35 350 1225 12250 40 |--- 50 12 540 2025 24300 50 |--- 60 20 55 1100 3025 60500 Total 50   2160 100850 

Questão 3 A distribuição das alturas de um grupo de pessoas apresentou uma altura média de 182 cm e um desvio padrão de 15 cm, enquanto que a distribuição dos pesos, apresentou um peso médio de 78 kg, com um desvio padrão de 8 kg. Qual das duas distribuições apresentou maior dispersão relativa?

Questão 3 A distribuição das alturas de um grupo de pessoas apresentou uma altura média de 182 cm e um desvio padrão de 15 cm, enquanto que a distribuição dos pesos, apresentou um peso médio de 78 kg, com um desvio padrão de 8 kg. Qual das duas distribuições apresentou maior dispersão relativa? Solução: Conclui-se que os pesos apresentaram maior variabilidade relativa.