Carregamentos Combinados (Projeto de Eixos e Árvores) Mecânica dos Materiais II Universidade de Brasília – UnB Departamento de Engenharia Mecânica – ENM Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA

Definições Eixos e árvores são componentes mecânicos que sustentam os elementos de máquinas, podem ter perfis lisos ou compostos, onde são montadas as engrenagens, polias, rolamentos, volantes, manípulos e outros elementos de maquinas.

Os eixos e as árvores podem ser fixos ou giratórios: Classificação – Quanto a Função Os eixos e as árvores podem ser fixos ou giratórios: Eixos fixos - Os elementos como as engrenagens e as polias giram apoiadas no eixo que permanece fixo. Árvores ou eixo-árvore giratório - O eixo se movimenta, junto com seus elementos ou independentemente deles, como eixos de afiadores (esmeris), rodas de trole (trilhos), eixos de máquinas-ferramenta, eixos sobre mancais.

Eixos Maciços Eixos Roscados Eixos Vazados Eixos Ranhurados Definições – Quanto ao Tipo Eixos Maciços Eixos Roscados Eixos Vazados Eixos Ranhurados Eixos Cônicos

Definições – Quanto aos Esforços O dimensionamento deve ser realizado considerando os modos de falha por: Falha Estática: comparado-se as tensões críticas que atuam no mesmo com os limites de resistência do material (Sy ou Srt) Fadiga: Comparado-se as tensões críticas que atuam no mesmo com o limite de resistência a fadiga nos pontos em que essas tensões atuam. Deflexão/Distorção: Comparado-se as distorções e deflexões críticas atuantes no eixo com as deflexões admissíveis Sob o aspecto estrutural, os eixos são elementos que podem sofrer esforços de flexão, tração/compressão ou torção. Dependendo do tipo de operação, os eixos devem ser dimensionado para cargas estáticas (parado ou com rotação muito baixa) ou dinâmica (altas rotações).

Definições – Quanto aos Esforços Elementos de Transmissão de Esforços – Polias Ramo Tensionado da Correia Relações Básicas Relação entre as rotações dos eixos Ramo “Frouxo” da Correia Motivo: Velocidade da correia é constante Função das Polias A – Movida B – Motora C - Tensionadora Relação entre os Torques dos eixos

Definições – Quanto aos Esforços Elementos de Transmissão de Esforços – Polias Esforços Transmitidos Para o Eixo Calculo das Forças F1 e F2 F1 f = Coeficiente de Atrito = Ângulo de Abraçamento (rad) m = densidade linear da correia Ramo Tensionado da Correia Ramo “Frouxo” da Correia Equilíbrio de Forças F2 FR F1 = Força no Ramo Tensionado F2 = Força no Ramo Frouxo Fi = Tensão de Montagem da Correia Fc = Tensão devido a Força Centrifuga T = Torque do Eixo D = Diâmetro da Polia FRy FRx Equilíbrio de Torques

Definições – Quanto aos Esforços Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em diversas aplicações. Existem várias opções de engrenagens de acordo com o uso a qual ela se destina. Cilíndricas de Dentes Retos Nomenclatura Básica de = diâmetro externo di = diâmetro interno dp = diâmetro primitivo a = addendum d = deddendum c = folga F = largura p = passo rf = raio do filete

Definições – Quanto aos Esforços Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em diversas aplicações. Existem várias opções de engrenagens de acordo com o uso a qual ela se destina. Cilíndricas de Dentes Retos Razão de Velocidades e Torques

Definições – Quanto aos Esforços Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos – Esforços Resultantes do Processo de Engrenamento f f = 20o

Definições – Quanto aos Esforços Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens Cilíndricas de Dentes Inclinados, ou Helicoidais (Engrenamento mais Suave) Razões de Velocidades e Torques Relações similares aos definidas para as engrenagens de dentes retos

Definições – Quanto aos Esforços Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens Cilíndricas de Dentes Inclinados, ou Helicoidais Esforços Resultantes do Processo de Engrenamento

Definições – Quanto aos Esforços Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens Cônicas de Dentes Retos Razões de Velocidades e Torque DP rP

Definições – Quanto aos Esforços Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens Cônicas de Dentes Retos Análise dos Esforços

Definições – Quanto aos Vínculos Elementos de Apoio dos Eixos– Mancais Dispositivo fixo fechado, em geral de ferro ou de bronze, sobre o qual se apoia um eixo girante, deslizante ou oscilante. Os mancais classificam-se em duas categorias: Mancais de deslizamento, e Mancais de rolamento.

Definições – Quanto aos Vínculos Elementos de Apoio dos Eixos– Arranjo de Rolamentos Combinação livre/fixa de rolamento de duas carreiras de esferas de contato angular e rolamento de rolos cilíndricos Combinação fixa/livre de rolamentos autocompensadores com rolamento autocompensador de esferas e rolamento de rolos toroidais Combinação livre//livre Arranjos de rolamentos "flutuantes" com rolamentos rígidos de esferas.

Definições – Quanto aos Vínculos Elementos de Apoio dos Eixos– Arranjo de Rolamentos Arranjo de rolamentos ajustados com rolamentos de rolos cônicos Arranjo de rolamentos ajustados com rolamentos de esferas de contato angular

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos Problema - Exemplo 4 1 2 3 5 Sentido de Rotação 6 40 % da Potencia 200 60 % da Potência 600 800 Identificação dos Componentes 1 - Motor 2 – Flange de Acoplamento 3 – Rolamento Rígido de Esferas 4 – Transmissão utilizando Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos 5 – Rolamento Rígido de Esferas contato angular 6 – Transmissão utilizando Engrenagem Cônica de Dentes Retos Sistema de Acionamento (Características) Potencia: 85 kW Vel. Ang.: 3600 rpm

Engrenagem de Dentes Retos Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 1 - Identificação dos Elementos de Máquina e Suas Funções 1 Identificação dos Componentes 1 - Motor 2 – Flange de Acoplamento 3 – Rolamento Rígido de Esferas 4 – Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos 5 – Rolamento Rígido de Esferas contato angular 6 – Engrenagem Cônica de Dentes Retos 2 3 5 4 6 Sistema de Acionamento (Características) Potencia: 185 kW Vel. Ang.: 3600 rpm Engrenagem de Conica Engrenagem de Dentes Retos g= 30º g Dp = 200mm Dp = 300mm

Sentido de Rotação e do Torsor Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 1 - Identificação dos Esforços Atuantes nos Elementos de Transmissão 1 2 3 5 Sentido de Rotação e do Torsor 4 6 Sistema de Acionamento (Características) Potencia: 85 kW Vel. Ang.: 3600 rpm Torque de Saída do Motor: T4 = 90.188 N∙m T6 = 135.282 N∙m

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 1 - Identificação dos Esforços Atuantes nos Elementos de Transmissão y a 1 Eng A   2 3 5 x Eng B z 4 6 a' Esforços Atuantes na Engrenagem 4 Corte a-a’ w Eng A Eng B w FtB-A FT4 = FTB-A = 601,25 N FrA-B TA TB FrB-A Fr4 = FtB-A = 218,84 N FtA-B Plano x

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 1.1 - Identificação dos Esforços Atuantes Sobre o Eixo – Engrenagem 4 T, w x T = 135.28 N∙m FT4 T = 225,45N∙m T = 225,45N∙m Fr4 T = 225,45N∙m y FT4 = 601,25 N z Fr4 = 218,84 N

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 1.2 - Identificação dos Esforços Atuantes nos Elementos de Transmissão y 1 Eng A Eng c   2 3 5 x Eng B z 4 6 Esforços Atuantes na Engrenagem 6 y y FT6 = FTd-c = 1352,8 N w, T Eng c Frc z x Fr6 = Frc= 426,418 N Fac FTd-c Frc Fad FTc-d Eng d Frd Fad Fa6 = Fac= 246,193 N

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 1.3 - Identificação dos Esforços Atuantes Sobre o Eixo – Engrenagens 4 e 6 x T, w FT6 T = 135.28 N∙m Fa6 FT4 Fr6 T = 225,45N∙m T = 135.28 N∙m Fr4 T = 225,45N∙m y FT6 = 1352,8 N FT4 = 601,25 N Fa6 = 246,193 N z Fr4 = 218,84 N Fr6 = 426,418 N

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 2 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios Plano z x T, w FT6 R2y T = 135.28 N∙m Fa6 FT4 Fr6 T = 225,45N∙m T = 135.28 N∙m R2z R1y Fr4 T = 225,45N∙m y Plano y FT6 = 1352,8 N R1z FT4 = 601,25 N Fa6 = 246,193 N z Fr4 = 218,84 N Fr6 = 426,418 N

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 2.1 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Z + Plano Z R1y FT4 = 601,25 N Fr6 = 426,418 N y R2y x Mz a =200 mm b = 600 mm c = 800 mm R2y = 727.943 N R1y = 299.727 N

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 2.2 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Z + Plano y FT6 = 1352,8 N Fr4 = 218,84 N x R1z R2z a =200 mm b = 600 mm z c = 800 mm R2z = 1730.81 N

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 2.3 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Y + Plano y FT6 = 1352,8 N Fr4 = 218,84 N R1z x R2z a =200 mm b = 600 mm z c = 800 mm R2z = 1730.81 N R1z = 596.831 N

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 3 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos Plano z x T, w FT6 = 1352,8 N Fa6 = 246,193 N R2y = 727.943 N FT4 = 601,25 N T = 135.28 N∙m Fa6 Fr4 = 218,84 N T = 225,45N∙m T = 135.28 N∙m R2z = 1730.81 N R1y = 299.727 N Fr6 = 426,418 N T = 225,45N∙m y Plano y R1z = 596.831 N z

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 3.1 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos – Plano Z Plano Z R2y = 727.943 N FT4 = 601.25 N y Fr6 = 426.418 N R1y = 299.727 N x 301.523 Cortante, Vy 299.727 426.418 60.665 24.619 Momento, Mz 59.945

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 3.1 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos – Plano Y Plano y R2z = 1730.81 N R1z = 596.831 N FT6 = 1352,8 N Fr4 = 218,84 N x z 1352.8 Cortante, Vz 596.831 377.991 Momento, My 119.366 270.56

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 3.1 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos – Esforços Normal e Torsor Plano y T4 = 90.188 N∙m T6 = 135.282 N∙m R2x = 246,193 N x z TMotor = 225.47 N∙m T = 135.282 N∙m T = 135.282 N∙m Fa6 = 246,193 N Normal, Nx 246.193 225.47 135.282 Torsor, Tx

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 3.2 – Diagrama Resultante de Esforços Fletores x Plano y T, w FT6 = 1352,8 N Fa6 = 246,193 N R2y = 727.943 N Fa6 FT4 = 601,25 N Fr4 = 218,84 N Plano z R2z = 1730.81 N R1y = 299.727 N Fr6 = 426,418 N y R1z = 596.831 N z

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos Ver Flexão Não-Simétrica no final da apresentaçao 4 –Estimativa das Tensões Máximas atuantes em cada Seção do Eixo R1x , R1y FT4 , Fr4 R1y , R2y FT6 , Fr6, Mz6 x Normal, Nx 246.193 225.47 135.282 Torsor, Tx 277.278 24.619 Momento Resultante, MR 133.573

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 4.1 – Identificação das Componentes Tensor das Tensões x MR Tx Nx

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 4.2 – Cálculo da Tensão Equivalente - Tresca Como syy = 0, temos: ≥ 0 ≤ 0

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 4.2 – Cálculo da Tensão Equivalente – Von Mises

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Tresca MR Eixo Falhará por Escoamento se a Tensão Equivalente de Tresca, sTresca, for Igual ou Superior a Tensão de Escoamento do Material, Sy. Tx Nx Condição Limite: Caso Particular, Nx = 0

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Mises MR Eixo Falhará por Escoamento se a Tensão Equivalente de Mises, sMises, for Igual ou Superior a Tensão de Escoamento do Material, Sy. Tx Nx Condição Limite: Caso Particular, Nx = 0

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Materiais Utilizados Os eixos e árvores são fabricados em aço ou ligas de aço, pois os materiais metálicos apresentam melhores propriedades mecânicas do que os outros materiais. Por isso, são mais adequados para a fabricação de elementos de transmissão: eixos com pequena solicitação mecânica são fabricados em aço ao carbono; eixo-árvore de máquinas e automóveis são fabricados em aço-níquel; eixo-árvore para altas rotações ou para bombas e turbinas são fabricados em aço cromo-níquel; eixo para vagões são fabricados em aço-manganês. Quando os eixos e árvores têm finalidades específicas, podem ser fabricados em cobre, alumínio, latão. Portanto, o material de fabricação varia de acordo com a função dos eixos e árvores

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Materiais Utilizados

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 6 – Dimensionamento do Eixo Contra Deflexões Excessivas x T, w FT6 = 1352,8 N Fa6 = 246,193 N R2y = 727.943 N Fa6 FT4 = 601,25 N Fr4 = 218,84 N Plano z R2z = 1730.81 N R1y = 299.727 N Fr6 = 426,418 N y R1z = 596.831 N z Plano y

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 6 – Dimensionamento do Eixo Contra Deflexões Excessivas Faixas de Deflexões e Inclinações Admissíveis em Projetos de Eixos

Flexão Não-Simétrica Vista Frontal Apresentação do Problema My My Mz Considerando a viga prismática apresentada na figura abaixo e submetida a dois momentos fletores, My e Mz. Descreva o campo de tensões resultante da aplicação desses esforços internos; My y My y x z Mz Mz z Vista Frontal

Flexão Não-Simétrica My Mz Análise do Problema My Mz y x z Agora, vamos avaliar o estado de tensões atuante no ponto P devido a presença dos fletores, My e Mz. My y a a = r∙Cos(f) P b = r∙Sin(f) r y b Mz f y' z x z' z

Flexão Não-Simétrica My Mz Análise do Problema My Mz MR My Mz y x z Uma vez identificado a função que descreve o campo de tensões, sx(r,f), vamos avaliar o lugar geométrico onde as tensões sx(r,f) são iguais a zero. My y a P r b Mz f y' MR z z' My q Mz

Flexão Não-Simétrica My Mz Análise do Problema My Mz y x z Uma vez identificado a função que descreve o campo de tensões, sx(r,f), vamos avaliar o lugar geométrico onde as tensões sx(r,f) são iguais a zero. My q y Mz f y' z z' Linha Neutra

Flexão Não-Simétrica My Mz Exemplo – Seção Quadrada My Mz y x z 45o y h z z' Linha Neutra b

Flexão Não-Simétrica My Mz Exemplo – Seção Retangular My Mz y x z 45o h z z' Linha Neutra b

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos 2.1 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Z + Plano Z y FT4 = 601,25 N Fr6 = 426,418 N R2y R1y x Mz a =200 mm b = 600 mm c = 800 mm

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm FT4 = 601,25 N y R1y R2y Fr6 = 426,418 N Mz x R14y FT4 = 601,25 N R24y Fr6 = 426,418 N R16y R26y R1Mzy Mz R2Mzy

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm FT4 = 601,25 N R14y R24y Fr6 = 426,418 N R16y R26y R1Mzy R2Mzy Mz

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm FT4 = 601,25 N R14y R24y Porque -400,... E -200,.... ?

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm Fr6 = 426,418 N R16y R26y

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm R1Mzy R2Mzy Mz

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm FT4 = 601,25 N R14y R24y 200,4166... N -400,8333... N -80,16666 Nxm

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm Fr6 = 426,418 N R16y R26y 142,1393333... N -426,418 N 85,2836 Nxm 28,42787 Nxm

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm R1Mzy R2Mzy Mz -41,032... N -24,619... Nxm -8,2064 Nxm

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm FT4 = 601,25 N Fr6 = 426,418 N R1y R2y Mz x 200,4166... N -400,8333... N 142,1393333... N -426,418 N -41,032... N 301,5239 N -299,726 N -426,418 N

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos c = 800 mm b = 600 mm a =200 mm FT4 = 601,25 N Fr6 = 426,418 N R1y R2y Mz x -80,16666 Nxm 85,2836 Nxm 28,42787 Nxm -24,619... Nxm -8,2064 Nxm 60,6646 Nxm -24,619 Nxm -59,945 Nxm

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos

Decomposição dos Carregamentos + Decomposição dos Carregamentos