A RETA Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

“Determinação de uma reta no plano”. ESTUDO DA RETA “Determinação de uma reta no plano”. B(x,y) A(x,y) Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos representá-la no plano cartesiano, pois dois pontos distintos determinam uma reta.

“Equação geral da reta no plano cartesiano”. ESTUDO DA RETA “Equação geral da reta no plano cartesiano”. B(x,y) C(x,y) A(x,y) Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta r, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante formado por esses pontos vale zero ( D=0)

Equação geral da reta, determinada por dois pontos ESTUDO DA RETA Equação geral da reta, determinada por dois pontos Desenvolvendo o determinante obtemos: a equação : ax + by + c = 0   que é chamada equação geral da reta r

Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4) ESTUDO DA RETA Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4) Desenvolvendo o determinante obtemos: a equação : 1x -1y + 2 = 0   que é chamada equação geral da reta r

“Equação reduzida da reta”. ESTUDO DA RETA “Equação reduzida da reta”. Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k coeficiente linear da reta, ou a equação na forma y = ax + b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente linear).

ESTUDO DA RETA “Exemplo de equação reduzida da reta”. 6x-3y-12=0 Y= Da equação geral 6x-3y-12=0 Y= 2.x - 4 obtemos a equação reduzida da reta: Cuja representação gráfica é Onde: c.a =2 m=2 c.l =- 4 - 4

Equação segmentária da reta obtemos a equação segmentária da reta: ESTUDO DA RETA Equação segmentária da reta ax+by+c=0 Da equação geral obtemos a equação segmentária da reta: ax/c +by/c= c/c x/p + y/q=1 Graficamente temos: p q

ESTUDO DA RETA Exemplo de equação segmentária da reta”. 6x-3y-12=0 Da equação geral obtemos a equação segmentária da reta: 6x-3y= 12 6x/12 - 3y/12= 12/12 x/2 + y/ - 4=1 Graficamente temos: 2 - 4

“Equação paramétrica da reta”. ESTUDO DA RETA “Equação paramétrica da reta”. Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta. Se x= f(t) e y = g(t) onde f e g são funções de 1º grau. Nestas condições , para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra .

ESTUDO DA RETA “Exemplo de equação paramétrica da reta”. Dados os pontos X= 2.t+1 e Y= t+3 Coordenadas do ponto P(x,y) Isolando “t” em y temos: t = y- 3 Substituindo “t” em x temos: x = 2.(y- 3)+1 Organizando, obtemos a equação geral x-2y+5=0 Obs: existe outra forma de obtermos a equação geral, em uma equação paramétrica

“Equação fundamental da reta”. ESTUDO DA RETA “Equação fundamental da reta”. Equação da reta r que passa pelo ponto P(x,y) e tem coeficiente angular m P(x,y) ()

“Equação fundamental da reta”. ESTUDO DA RETA “Equação fundamental da reta”. A equação y – yo = m (x – xo) onde (xo,yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta

ESTUDO DA RETA Exemplo aplicação da equação fundamental da reta e A equação da reta que passa por P(2,3) Tem coeficiente angular m =-2 é y- 3=-2(x- 2) 3 m =-2 2 Equação geral:2.x+y-7=0

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real “a” que representa a sua inclinação (). Por definição, temos que: m= a = tg  São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA  é agudo  a > 0 Neste caso a reta tem um coeficiente angular positivo.

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA  é obtuso  a < 0 Neste caso a reta tem um coeficiente angular negativo.

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA  = 0º ou 180º  a = 0  = 90º  a não existe Neste caso a reta tem um coeficiente zero. Neste caso a reta não tem coeficiente angular

Qual o “c.a” na equação 3x-2y+5=0 ESTUDO DA RETA Determinação do Coeficiente angular na equação Dada a equação geral ax+by+c=0, podemos determinar o coeficiente angular através da expressão. -a Exemplo m = b Qual o “c.a” na equação 3x-2y+5=0 - 3 3 m = m = -2 2

Qual o “c.a” da reta que passa por A(3,6) e B(5,10) ESTUDO DA RETA Determinação do Coeficiente angular entre dois pontos Dados os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), o coeficiente angular da reta que passa por esses pontos é representado por: yb-ya m = xb-xa Qual o “c.a” da reta que passa por A(3,6) e B(5,10) Exemplo 10 - 6 4 2 m = m = m = 5 - 3 2

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS ESTUDO DA RETA POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS Em relação ao plano cartesiano, as retas podem ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares. Veremos aqui a algumas delas .... RETAS PARALELAS RETAS CONCORRENTES RETAS PERPENDICULARES

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS ESTUDO DA RETA POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS RETAS PARALELAS: retas paralelas tem os mesmos coeficientes angulares RETAS CONCORRENTES: tem os coeficientes angulares diferentes. RETAS PERPENDICULARES: Formam entre si ângulo de 90º.

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS ESTUDO DA RETA POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS PARALELAS: tem os coeficientes angulares iguais (m1 = m2) m1 m2

ESTUDO DA RETA POSIÇÕES DAS RETAS RETAS CONCORRENTES: tem os coeficientes angulares diferentes (m1 diferente de m2) m2 m1

ESTUDO DA RETA POSIÇÕES DAS RETAS Formam entre si ângulo de 90º RETAS PERPENDICULARES: Formam entre si ângulo de 90º O produto entre os coeficientes angulares vale -1 (m1 . M2 = -1)

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ESTUDO DA RETA DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um ponto P(X,y) e uma reta r: ax+by+c=0, a distância entre o ponto e a reta é representada por: dp,r * P(x,y)

ESTUDO DA RETA Ângulo entre Retas Ângulo formado por duas retas Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a tangente do ângulo agudo formado pelas retas é dado por : r s mr ms

Livro de matemática volume 3 editora Moderna , autor Manoel Paiva BIBLIOGRÁFIA Livro de matemática volume 3 editora Moderna , autor Manoel Paiva www.net-rosas.com.br www.unificado.com.br/matematica Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.