Teoria dos Grafos Geração de Valores aleatórios ADSD Geração de Valores aleatórios

ADSD Geração de Números Aletórios Números Aleatórios (NAs) são elementos de Variáveis Aletórias (Vas), independentes com distribuição uniforme Números Pseudos Aleatórios (NPAs) são números gerados a partir de uma regra pré-fixada de formação, contudo, a formação de um número a partir de anterior não pode ser pré-estabelecida.

ADSD Métodos alternativos para a Geração de Nas Manuais Tábuas de NAs Computadores Analógicos Computadores Digitais

ADSD Características de um Método Gerador de NPAs Distribuição Uniforme Estatisticamente independente Reprodutibilidade Não repetir a série no intervalo de interesse Velocidade de Geração

ADSD Métodos de Congruência Geralmente usados na geração de NPAs usando computadores digitais. Características: Determinístico Estatisticamente independente Sequência de NPAs uniformemente distribuída pode-se considerar um processo randônico

ADSD Relação Fundamental de Recorrência Xn+1 = K Xn + C (mod M) onde, K, x e C são inteiros não negativos Obs.:mod = módulo C(mod M): resto da divisão C por M m = múltiplo de 2 (geralmente, # bits da palavra do computador)

ADSD Métodos de Congruência Aditiva Xn+1 = (Xn + Xn-k ) (mod m), onde, k = 1, 2, 3,..... Multiplicativa Xn+1 = K Xn (mod M), onde, K, X e C são inteiros não negativos Mista Xn+1 = K (Xn + Xn-k )+ C (mod M), onde, k = 1, 2, 3,.....

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ADSD Métodos de Geração de Valores Aleatórios Transformada Inversa Rejeição Aproximação retangular Esses métodos usam um gerador de NAS com distribuição uniforme para gerar valores com uma dada distribuição.

ADSD F(x) =  (-, x ) f(t) dt  Prob [ x’  x] Método Transformada Inversa Conhecida a fdp de uma VA x’ (f(x)), pode-se obter valores aleatórios desta VA, contudo necessita-se encontrar a FDP [F(x)] associada a esta VA. F(x) =  (-, x ) f(t) dt  Prob [ x’  x] Como F(x) é definida em [0,1], pode-se gerar NAs uniformemente distribuídos e fazer r = F(x), onde r é uma NA entre 0 e 1.

ADSD Se F(x) é contínua e cresce monotonicamente, existe uma função inversa F-1 (r) tal que se 0  r  1, então r = F(x), sss x = F-1 (r) Logo, para calcular amostras de x’ conhecendo F(x), usar: X’= F-1 (r)

ADSD = Prob [ r  F(x)] Provar que Prob [X’  x] Demonstração: Prob [X’  x] = Prob [F-1 (r)  x] = Prob [ r  F(x)] Mas, como a distribuição de r é uniforme [0,1] Prob [ r  F(x)] = F(x), c.q.d.

ADSD Método da Transformada Inversa r = r0 Xo = F-1(r0)

ADSD r = F(x) =  (0, x ) 2t dt, 0  x  1 r = F(x) = x² Exemplo 01: Gerar VAs x com f(x) = 2x, para 0  x  1 Temos: r = F(x) =  (0, x ) 2t dt, 0  x  1 r = F(x) = x² x = F-1 (r) = r, 0  x  1  Valores para x podem ser obtidos extraindo a raiz quadrada de r (r, um NA).

ADSD Exemplo 02: Gerar VAs x, conhecendo: f(x) = 1/4 se 0  x  1 = 3/4 se 1  x  2 Temos: r = F(x) =  (0, x ) 1/4 dt = x/4, para 0  x  1 r = F(x) = 1/4+  (1, x ) 3/4 dt = 3/4x-1/2, para 1  x  2 x = F-1 (r) = r, 0  x  1  x= F-1 (r) = 4r, para 0  r  1/4 x = 4/3r + 2/3, para 1/4  r  1

ADSD Exemplo 02: f(x) f(x) = 1/4 p/ 0  x  1 = 3/4 p/ 1  x  2 1 2 x 1 2 x F(x) X = 4r, p/ 0  r  1/4 = 4/3r + 2/3, p/ 1/4  r  1 3/4 1/4 0 1 2 x

ADSD Exemplo 02: Gerar VAs x com distribuição uniforme entre dois valores “a” e “b”. f(x) F(x) 1 1 b-a a b a b Algorítmo 1- Gerar um NA (r) entre 0 e 1 com distribuição uniforme; 2- Usar a Transformação x=a+r(b-a).

ADSD Exemplo 02: Gerar VAs conforme a distribuição exponencial com valor médio E[x] = 1/. : freqüência usada para denotar a taxa de chegada. F(x) = 1 - e(-x) f(x)= e(-x) Temos: E[x]=  (0, ) x f(x) dx = 1/  Esta é a distribuição mais importante em Teoria das Filas (parte da Teoria dos Processos Estocásticos que estuda o fenômeno das filas).

ADSD A distribuição exponencial é freqüentemente usada para gerar valores para o tempo de interchegada e tempo de atendimento de fregueses em modelos de Redes de Filas (i.e., computador, banco, supermercado, etc). Algorítmo 1. Gerar um NA r 2. Usar a Transformação: x = -E(x) ln(1-r) = -1/ ln(1-r)

ADSD Método da Rejeição Neste método a fdp de uma VA deve ter limites inferiores e superiores em x, i.e., devem existir “a” e “b”, tal que: f(x) = 0,  x  a e  x  b Obs: Teoricamente o método da rejeição não poderia ser usado com distribuição com caudas infinitas (ex. Normal, Exponencial, etc). Na prática faz-se uma aproximação da distribuição eliminando a cauda infinita.

ADSD Exemplo 01: Distribuição Exponencial f(x) f(x) b Exemplo 02: Gerar Vas conhecendo-se a seguinte fdp: f(x) c a b

ADSD - Deve-se gerar uma grande quantidade de pontos no retângulo definido por a, b e c; - Considerando somente os pontos que caem abaixo da curva definida por f(x); - Os pontos não rejeitados têm valores de x entre “a” e “b” obedecendo a distribuição f(x) (é uma aplicação direta do Método de Monte Carlo).

ADSD Algoritmo 1. Gerar 2 Nas r1 e r2 com distribuição uniforme entre 0 e 1 2. Calcular: x = a + r1 (b-a) 3. Calcular: y= c .r2 4. Se y  f(x): x é aceito como amostra válida Caso contrário: volta a etapa 1.

ADSD Obs: A probabilidade de aceitar x como amostra é a área sob a curva definida por f(x) dividida pela área total do retângulo P[aceitar x como amostra] =  (a, b) f(x) dx / c (b-a) 2. O método da rejeição torna-se ineficiente quando c . (b-a) assume valores altos, como é o caso mostrado a seguir onde muitas amostras seriam rejeitadas para cada amostra aceita f(x) a b

ADSD Método da Aproximação Retangular Usado por qualquer tipo de distribuição, contudo é principalmente usado quando: - Não existe forma funcional para F(x); - O método da rejeição é ineficiente. Neste método a FDP e a fdp são aproximadas com retas.

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ADSD Algoritmo 1. Gerar um NA “r” com distribuição uniforme entre 0 e 1 2. Achar xi e xi+1, tal que: F(xi)  r  F(xi+1) 3. Calcular x usando Interpolação Linear x= xi + (xi+1 - xi) [ r - F(xi) / F(xi+1) - F(xi)]

ADSD O método da Aproximação Retangular é geralmente (mas nem sempre) mais eficiente do que o Método da Rejeição; Este método usa apenas um NA, contudo há a necessidade de pesquisar e, em seguida, calcular x usando interpolação linear.

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