Aplicações de Derivadas

Revisão: Tabela que será fornecida na prova PRIMITIVA DERIVADA 𝑦= 𝑥 𝑛 𝑦′=𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑦=𝑎 𝑓(𝑥) 𝑦′=𝑎 𝑓′(𝑥) 𝑦= 𝑒 𝑥 𝑦′= 𝑒 𝑥 𝑦=𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥) 𝑦′=𝑓′ 𝑥 +𝑔′(𝑥) 𝑦=ln⁡(𝑥) 𝑦=1/x 𝑦=𝑢 𝑥 𝑣(𝑥) 𝑦 ′ =𝑣 𝑥 𝑢 ′ 𝑥 +𝑢 𝑥 𝑣′(𝑥) 𝑦=sen(x) 𝑦′=𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑦= 𝑢 𝑥 𝑣(𝑥) 𝑦 ′ = 𝑣 𝑥 𝑢 ′ 𝑥 −𝑢 𝑥 𝑣′(𝑥) 𝑣(𝑥) 2 𝑦=cos(x) 𝑦 ′ =−𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦=𝑓(𝑢 𝑥 ) 𝑦′=𝑓′ 𝑢 𝑢′(𝑥)

Nomes da Derivada Taxa de variação Taxa de crescimento instantâneo Taxa de inflação (notar que para preços é dada em % adimensional) Velocidade Taxa/velocidade de uma reação química Inclinação de uma curva Tangente do ângulo da inclinação no ponto em questão Gradiente

Extremos: Problema típico Uma célula bi-dimensional retangular tem área 1600 um2. Para minimizar o material usado nas paredes do recipiente, quais as dimensões x e y? Solução: Queremos minimizar o perímetro, então precisamos encontrar o comprimento x que dê o mínimo da função perímetro. y x

Exercício em classe (não precisa entregar) Minimizar a função Perimetro: 𝑃 𝑥 =2(𝑥+𝐴𝑟𝑒𝑎∗ 𝑥 −1 )

Exercício em classe (não precisa entregar) Minimizar a função Perimetro: Solução: Mas como Area = xy  xx=xy  x =y Assim, o retângulo de menor perímetro para uma dada área é um quadrado. Calcule a segunda derivada de P(x) e verifique que será positiva em x = Area0.5 , indicando que P(x = Area0.5 ) é um mínimo da função perímetro

Vamos ver o sinal da segunda derivada: Função tem apenas um mínimo, assim a resposta encontrada para x de fato minimizou P

Exemplo com artérias (exemplo. 9.7.5 do Batschelet) Como l1 e l2 dependem de teta?

Exercicio em sala: Encontrar o ângulo teta que minimiza R Exemplo: Se

Exemplo prático em construção de container: Vamos construir uma lata cilíndrica com 20π  m.3 O material para a tampa e para o fundo custa R$10/m2  e o material para os lados custa $8/m.2 Qual o raio r e a altura h que minimiza o custo do container? Qual o custo mínimo para o material para o container? Solução: Volume = V = 20π =base*altura => h = 20/r2 C = (custo da tampa) + (custo do fundo) + (custo dos lados) Agora vamos substituir h através da expressão do volumen E deixar a função C como função apenas de r. Função Custo, que deve ser minimizada PRoblemahttps://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/maxmindirectory/MaxMin.html

Minimizando a função custo: Queremos verifica se r=2 dá um mínimo, máximo ou ponto de inflexão para o custo de construção dessa caixa Cilíndrica de 20*p m3 Alternativas: Verificar se a derivada é negativa à esquerda e positiva à direita de r=2. Como há uma única raiz r=2, qq valor r<2 e r>2 servem para o teste. C’(r=1) <0 (custo caindo) C’(r=3) >0 (custo aumentando) Se para r<2 o custo estava caindo e para r>2 o custo está Aumentando, conclui-se que r=2 é um mínimo do custo. 2) Plotar o gráfico de C. No gráfico veremos que C é mínimo em R=2. (nesse caso, não precisamos usar o conceito de derivada) 3) Calcular a segunda derivada e substituir r=2. FAZER COMO EXERCICIO AGORA. Minimizando a função custo: Raiz da derivada C’ é única: r = 2

Voltando ao container V 20π r=2  h=5 C(r=2) = 20π ~ R$ 754