Compasso: perpendiculares e paralelas

Traçada de reta perpendicular a uma reta dada Retas perpendiculares são aquelas que se interceptam formando quatro ângulos retos (90º). Podem ocorrer em três casos: 1º caso: A perpendicular passa por um ponto pertencente à reta dada. 2º caso: A perpendicular passa por um ponto não pertencente à reta dada. 3º caso: A perpendicular passa em qualquer lugar da reta dada.

Exemplo 1 A perpendicular passa por um ponto pertencente à reta dada. Dados a reta r e o ponto P (P Є r), trace uma reta s perpendicular a r no ponto P.

Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e marcamos dois pontos auxiliares (1 e 2) na reta r.

Aumentando sua abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco. Com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e traçamos outro arco. A intersecção dos dois arcos nos dará o ponto 3.

A reta que passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta s procurada.

Por que é assim que se faz? Marcamos os pontos 1 e 2 à mesma distância do ponto P. Usamos a mesma abertura no compasso para marcar os dois arcos que determinam o ponto 3. Assim, o ponto 3 é equidistante de 1 e 2.

Se está à mesma distância de 1 e 2, a reta que passa pelo ponto 3 e por P divide o ângulo de 180º exatamente no meio, ou seja, em dois ângulos de 90º.

Exemplo 2 A perpendicular passa por um ponto não-pertencente à reta dada. Dados a reta r e o ponto P (P Є r), trace uma reta s perpendicular a r e que passe pelo ponto P.

Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e marcamos dois pontos (1 e 2) na reta r. Com uma abertura qualquer, centramos o compasso nos pontos 1 e 2 e traçamos dois arcos que se interceptam no ponto 3. A reta r passa pelo ponto P e pelo ponto 3 é a reta s procurada.

Por que é assim que se faz? A justificativa é a mesma do exemplo 1. O ponto P é equidistante dos ponto 1 e 2. O ponto 3 também é equidistante de 1 e 2. Portanto, a reta passa pelo ponto P e por 3 divide ao meio os ângulos de 180º, resultando em ângulos de 90º.

Exemplo 3 A perpendicular passa em qualquer lugar da reta dada. Trace uma reta s perpendicular à reta r.

Construção: Neste caso, basta determinar um ponto P, pertencente à reta ou não, e aplicar um dos processos vistos anteriormente. Determina-se o ponto P na reta r.

Determina-se o ponto P fora da reta r.

Fazer exercícios 01

Traçados de retas paralelas Retas paralelas são aquelas que não possuem pontos em comum, pois não se interceptam, ou seja, mantêm sempre a mesma distância uma da outra. Podem ocorrer dois casos: 1º caso: A paralela passa por um ponto dado. 2º caso: A paralela passa a determinada distância da reta dada.

1º caso Veremos quatro processos de resolução para esse caso.

Exemplo 1 A paralela passa por um ponto dado. Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P.

Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e traçamos um arco que determine na reta r o ponto auxiliar 1. Com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 1 e traçamos um arco que determine em r o ponto auxiliar 2. Abrimos o compasso com medida igual à distância de 2 a P. Transportamos essa medida para o outro arco, a partir do ponto 1, obtendo assim o ponto 3. A reta r que passa pelo pontos P e 3 é a reta s procurada.

Por que é assim que se faz? Os dois arcos têm o mesmo raio e sobre eles transportamos a mesma distância.

Exemplo 2 Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P

Construção: Marcamos um ponto O (centro) em qualquer lugar da reta r. Centramos o compasso em O e, com abertura até o ponto P, traçamos um arco, que determinará na reta r dois pontos auxiliares ( 1 e 2). Com o auxílio do compasso, transportamos a distância 1P para o outro arco, a partir do ponto 2, obtendo o ponto 3. A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

Por que é assim que se faz? A justificativa é a mesma do processo anterior: transportando no arco a distância que determina o ponto auxiliar 3, obtendo a mesma distância de P em relação à reta r.

Qual a diferença entre 1º e o 2º processo? No 1º processo, começamos a construção centrando o compasso no ponto P. No 2º processo, começamos a construção centrando o compasso em um ponto qualquer da reta (ponto O).

Exemplo 3 Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela a r no ponto P.

Construção: Com uma abertura qualquer, centramos o compasso no ponto P e traçamos um arco que determina na reta r o ponto auxiliar 1. Com a mesma abertura, centramos o compasso em 1 e marcamos em r o ponto auxiliar 2. ainda com a mesma abertura, centramos o compasso no ponto 2 e marcamos no arco o ponto 3.

A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

Por que é assim que se faz? Sabemos que, num paralelogramo, os lados opostos são paralelos entre si. Nesse 3º processo, os pontos P, 1, 2 e 3 correspondem aos vértices de um losango.

Qual a diferença entre esse processo e os anteriores? No 3º processo, não alteramos a abertura do compasso: a medida inicial, para o arco, é conservada até o final.

Exemplo 4 Dados a reta r e o ponto P, trace a reta s paralela à reta r no ponto P.

Construção: Traçamos uma reta perpendicular a r em P, obtendo o ponto auxiliar 1.

Marcamos na reta r, em qualquer lugar, um ponto auxiliar 2 Marcamos na reta r, em qualquer lugar, um ponto auxiliar 2. Nesse ponto, traçamos uma perpendicular a r. Transportamos a distância P1 para a outra perpendicular, a partir de 2, obtendo o ponto 3. A reta que passa pelos pontos P e 3 é a reta s procurada.

O 4º processo lembra a figura formada pro um gol de futebol O 4º processo lembra a figura formada pro um gol de futebol. Em relação ao chão, o travessão é paralelo e as duas traves são perpendiculares e de mesma medida. Daqui em diante, utilizaremos esse processo sempre que trabalharmos com distância entre paralelas.

Fazer exercícios 02

2º caso Vamos agora estudar o traçado de paralelas a uma distância determinada da reta dada.

Exemplo 5 Trace o par de retas (r´e r´´) distantes 2,0 cm da reta r.

Construção: Marcamos na reta r dois pontos auxiliares quaisquer (1 e 2). Em cada ponto, traçamos uma reta perpendicular a r.

Nas perpendiculares, a partir de r, marcamos para os dois lados a distância desejada (2,0 cm), obtendo os pontos 3, 4, 5 e 6. As retas que passam por 3 e 5 e por 4 e 6 são paralelas r´e r´´ procuradas.