CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA REFLEXÃO DA DOCÊNCIA Analisando o comportamento gráfico de uma curva por meio da análise da função derivada Profa. Liliane R. Refatti

Contextualização da Situação de Ensino Docência desenvolvida pela Professora Liliane R. Refatti licenciada em Matemática, aluna do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática da UNIFRA e possui dez meses de experiência em sala de aula. As atividades apresentadas foram desenvolvidas na disciplina de Cálculo no primeiro semestre curricular do curso superior de Tecnologia em Sistema para Internet da Universidade Federal de Santa Maria, no ano de 2011. As atividades foram desenvolvidas com um grupo de aproximadamente 40 alunos.

2. Elementos Específicos da Situação de Ensino Tema: Aplicação das derivadas. Objetivo da atividade Interpretar graficamente o comportamento de uma função utilizando a função derivada. Analisando a função derivada pretende-se: ● Verificar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente; ● Identificar pontos de inflexão, máximos, mínimos de uma função e intervalos em que a concavidade é voltada para cima ou para baixo.

Recursos computacionais utilizados Foi utilizado o software GeoGebra para fazer os gráficos da função e da função derivada. Metodologia Introdução: Apresentação da proposta de trabalho à turma. Desenvolvimento da atividade em grupo. 3. Discussão final/reflexão: Nessa etapa a professora estimulou a comunicação entre os alunos.

Aplicativo ATIVIDADE: O gráfico abaixo é a representação geométrica de uma função f. Para obter o gráfico no GeoGebra movimente o seletores para as seguintes posições, a = 1, b = 0, c = -2, d = 0 e e = 1. f Aplicativo

ATIVIDADE: a) Identifique o domínio da função f e utilize a função derivada para analisar os intervalos em que esta função é decrescente ou crescente?   b) O que você pode afirmar sobre o comportamento da reta tangente ao gráfico da função no intervalo em que a função decresce? E no intervalo em que f é crescente? c) Analisando a reta tangente é possível determinar os pontos de máximo e de mínimo da função? d) Identifique o(s) ponto(s) de inflexão da função f .   e) É possível identificar os intervalos em que a função apresenta uma concavidade voltada para cima ou para baixo?

Análise das soluções a) Identifique o domínio da função f e utilize a função derivada para analisar os intervalos em que esta função é decrescente ou crescente?    Grupo A: Grupo D: Domínio: ℝ Crescente: (1, +∞); (0, -1) Decrescente: 1,1 ; -1, +∞ Grupo E: Grupo B: Crescente: (-1, 1) e (1, +∞) Decrescente: (-∞, -1) e (1,1) Crescente: -1 a 0; 1 a +∞ Decrescente: +∞ a -1; 0 a 1 Grupo F: Grupo C: Crescente: (-1, 0) 𝑈(1,+∞) {ℝ} Decrescente:(-∞, -1) 𝑈(0,1) Observe que os alunos não usaram uma linguagem correta e também não apresentaram justificativas para verificar se a função era crescente ou decrescente.   

Análise das soluções b) O que você pode afirmar sobre o comportamento da reta tangente ao gráfico da função no intervalo em que a função decresce? E no intervalo em que f é crescente? Grupo A: Coeficiente angular da reta tangente positivo - derivada positiva – função crescente Coeficiente angular da reta tangente negativo - derivada negativa – função decrescente Grupo B: Quando a função decresce a derivada é negativa e quando a função cresce a derivada é positiva. Grupo E: É decrescente no intervalo em que o coeficiente angular da reta tangente é positivo e crescente onde o coeficiente angular da reta tangente é negativo. Grupos C, D e F: Não responderam a questão. Podemos observar nessas questão que apenas o grupo A registrou corretamente. Observamos que a maioria dos alunos não conseguiram se apropriar dos recursos que o aplicativo oferecia para visualizar o comportamento da reta tangente ao gráfico da função nos intervalos em que a função decresce ou cresce.

Análise das soluções c) Analisando a reta tangente é possível determinar os pontos de máximo e de mínimo da função? Grupo A: Grupo D: Ponto de máximo: (0, 1) Não respondeu. Pontos de mínimo: (-1, 0) e (0, 1) Grupo E: Grupo B: Os pontos de máximo é (1.5, 1) e de mínimo é (-1, -2) Máximo: (0, 1) Mínimo: (-1, 0) e (0, 1) Grupo F: Grupo C: (-1,0) ; (0, 1) Ponto máximo: 0, 1 Pontos mínimo: -1, 0 e 1,0 Observe que novamente alguns alunos não usaram uma linguagem matemática correta e também não apresentaram alguma justificativas para verificar os pontos de máximo e mínimo da função.    

Análise das soluções d) Identifique o(s) ponto(s) de inflexão da função f .  Grupo A: Grupo D: Pontos de inflexão são Os pontos de inflexão são -0,6 e 0,4 e 0,6 e 0,4. (- 0.58, 0.44) e (0.58, 0.44). Grupo E: Grupo B: No ponto x = -1 e no y no ponto 1 - 0.58, 0.44 e 0.58, 0.44 Grupo F: (-0,5; 0,5) e (0,5; 0,5) Grupo C: O ponto de inflexão é (0, 1). Apenas os grupos A e F descrevem corretamente porém não justifica o comportamento da reta tangente quando ocorre um ponto de inflexão, os de mais grupos a linguagem matemática usada não está correta .

Análise das soluções e) É possível identificar os intervalos em que a função apresenta uma concavidade voltada para cima ou para baixo? Grupo A: Grupo D: Reta tangente positiva: ponto de Concavidade para cima a reta tangente se encontra abaixo da curva, quando a concavidade está para baixo a reta tangente está a cima da curva. máximo. Reta tangente negativa: ponto de mínimo. Grupo B: Grupo E: Concavidade para cima reta tangente Na concavidade para cima a reta tangente fica abaixo do ponto F e na concavidade para baixo a reta fica para baixo também. para baixo. Concavidade para baixo reta tangente para cima. Grupo F: Grupo C: No intervalo onde a curva apresenta concavidade voltada para cima o coeficiente angular da reta tangente é crescente. No intervalo onde a curva apresenta concavidade voltada para baixo o coeficiente angular da reta tangente está decrescendo. Concavidade para cima -1,0 a – 0,5 e 0,5 a 1.5 e concavidade para baixo -0,5 a 0,5.

Nesta questão alguns alunos não conseguiram visualizar o que estava acontecendo com o coeficiente angular da reta tangente nos intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo. O grupo D registro suas observações de uma maneira diferente do grupo F, no entanto, os dois grupos responderam corretamente. Já os grupos A, B e F não foram claros em suas descrições.

Avaliação Os alunos foram avaliados pela lista de atividades entregue por cada grupo, levando em consideração os seguintes pontos: Respostas sobre o conteúdo em questão; Símbolos matemáticos representados corretamente; O resumo deveria conter todos os tópicos que o aluno pode observar no decorrer da atividade; Gráficos reproduzidos corretamente.

Dificuldades enfrentadas pelo professor Dar atendimento individual adequado devido ao número de alunos presentes; Tempo utilizado no decorrer da atividade; A falta de alguns conceitos fundamentais que os alunos deveriam supostamente saber (como por exemplo, domínio de uma função, representar um intervalo, localizar um ponto no plano, ponto de máximo e mínimo...). Dificuldades enfrentadas pelos alunos Manuseio no GeoGebra; Interpretar um gráfico; Localizar pontos no plano cartesiano e representar intervalos; Dificuldades em descrever a concavidade da curva usando a derivada; Fazer um resumo do que foi analisado na atividade.

Referências HOWARD, Anton. Cálculo – Um Novo Horizonte. V. 1. Sexta edição. Editora Bookman, 2000. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO. N. S. G. Pesquisa em Resolução de Problemas: Caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema, Rio Claro. SP, v. 25, p. 73-98, dez. 2011. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Org). Educação Matemática-pesquisa em movimento. 2ed. São Paulo: Cortez, 2005. p.213-231. POLYA, George. A arte de Resolver Problemas. Tradução: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. 196p. 31 ilust.