PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Matemática Dorta

O determinante de uma matriz quadrada é nulo se: Observação: válido para as três primeiras propriedades que serão citadas nesta aula.

P1) A matriz apresenta uma fila de zeros (fila nula).

P2) A matriz possui filas paralelas proporcionais:

P3) Uma fila é a combinação linear de outras filas paralelas:

P4) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

P5) Teorema de Binet det (A.B) = det A . detB

P6) Troca de filas paralelas Dada uma matriz Anxn, se trocarmos as posições de duas filas de A, teremos uma nova matriz Bnxn, cujo determinante é igual ao determinante de A mudando-se apenas o sinal (+ ou -).

Exemplo da P6

P7) k. (fila) Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número real k não-nulo, o seu determinante ficará multiplicado por k.

Exemplo da P7

P8) Conseqüência da propriedade anterior Se multiplicarmos uma matriz Amxn por um número real k não-nulo, obtemos uma matriz Bmxn= k. Amxn tal que det B = kn.det A.

Exemplo da P8

P9) Válida para matrizes triangulares Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal principal de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplos da P9

P10) Válida para matrizes similares as triangulares Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal secundária de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicados por (-1) [n.(n-1)]/2; em que n é a ordem da matriz.

Exemplos da P10

P11) Soma de determinantes São dadas três matrizes, A, B e C, de ordem n, com n-1 filas correspondentes iguais. Se os elementos da outra fila de C forem iguais à soma dos elementos correspondentes das outras filas de A e B, então det C = det A + det B.

Exemplo da P11

P12) Teorema de Jacobi Multiplicando-se uma fila de uma matriz A por um número real não-nulo e adicionando-se o resultado à outra fila, o seu determinante fica inalterado.

Exemplo da P12

P13) Determinante de Vandermonde Um determinante de ordem n maior ou igual a 2 é chamado determinante de Vandermonde se na primeira linha os elementos forem todos iguais a 1; na segunda, números reais quaisquer; na terceira, seus quadrados; na quarta seus cubos, e assim sucessivamente.

Cálculo do determinante de Vandermonde Os elementos da segunda linha no determinante de Vandermonde são chamados de elementos característicos. Um determinante de Vandermonde é calculado por meio do produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo de cada um dos elementos característicos os elementos que os precedem.

Exemplo da P13