AULA 8: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS “ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL FANUEL” GUARDA MIRIM DE TELÊMACO BORBA AULA 8: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Disciplina: CÁLCULO NUMÉRICO E FINANCEIRO Módulo: 4° MÓDULO Data: 01/04/2017 Ricardo Assis dos Santos
DEFINIÇÃO Apresenta-se o MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ) como outra forma de aproximação de funções. Ao contrário do polinômio interpolador visto na AULA 7, agora não é necessário que o ajuste passe exatamente por cima dos pontos ajustados. Em outras palavras, com esse método encontramos uma função ϕ (x) de um certo tipo pré-estabelecido (exemplo: reta, parábola, senoide) que melhor ajusta um conjunto de pontos ou uma função dada.
INTRODUÇÃO Uma forma de se trabalhar com uma função definida por uma tabela de valores é a interpolação. Contudo, a interpolação pode não ser aconselhável quando: É preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de tabelamento (extrapolação); Os valores tabelados são resultado de experimentos físicos, pois estes valores poderão conter erros inerentes que, em geral, não são previsíveis. Surge então a necessidade de se ajustar a estas funções tabeladas uma função que seja uma “boa aproximação” para as mesmas e que nos permita “extrapolar” com certa margem de segurança. Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f(x) por outra função ϕ(x), escolhida de uma família de funções ou por uma soma de funções em duas situações distintas: Domínio discreto: quando a função f é dada por uma tabela de valores. Domínio contínuo: quando a função f é dada por sua forma analítica.
INTRODUÇÃO Em geral NÃO É ACONSELHÁVEL, usar interpolação linear quando: Deseja-se extrapolar ou fazer previsões em regiões fora do intervalo considerado; Os dados tabelados são resultados de experimentos, onde erros na obtenção destes resultados podem influenciar a sua qualidade; A escolha das funções pode ser feita: Observando o gráfico dos pontos tabelados; Baseando-se em fundamentos teóricos dos experimentos que forneceu a tabela ou; Através de uma função já conhecida. O Método dos Mínimos Quadrados é um método bastante utilizado para ajustar uma determinada quantidade de pontos e aproximar funções.
Método dos Mínimos Quadrados
Método dos Mínimos Quadrados A função resultante Função PHI, que devemos encontrar para fazer o ajuste da reta, curva, senóide, etc.
Caso Discreto
Caso Discreto
Exemplo 1
Exemplo 1
Caso Discreto (Ajuste Linear)
Caso Discreto (Ajuste Linear)
Exemplo 1
Exemplo 1
Exemplo 1: Excel
Exemplo 1: Excel
Exemplo 2 Uma reta:
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2