Cálculo Diferencial e Integral III Aula 10 Prof(a): Ana Lucia de Sousa

Objetivos Determinar uma expansão em Série de Fourier de uma função. Coeficientes na expansão em série de Fourier Teorema de convergência de séries de Fourier

SÉRIE DE FOURIER A série de Fourier, nomeada em homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).   A ideia do Fourier é transformar uma função periódica numa soma infinita de senos e cossenos.

Funções periódicas Existem funções y = f(x) que repetem valores de y para um determinado acréscimo no valor de x. Podemos dizer que uma função f de domínio D é periódica se existe um número real P > 0, chamado período de f, tal que f(x) = f(x + P). Ou seja, a função se repete a cada período.

Podemos dizer que uma função f de domínio D é periódica se existe um número real P > 0, chamado período de f, tal que f(x) = f(x+P). Ou seja, a função se repete a cada período. Ou seja, função periódica é uma função que se repete a cada período.

Por exemplo: A função seno é periódica e seu período é 2π. A função cosseno também possui período 2π.   Se f(x) tem período T, então podemos escrever f(x) = f(x + T).

Função par e função ímpar Uma função f é chamada de par se f(-x) = f(x) e é chamada de ímpar se f(-x) = -f(x), para todo x no domínio. Vamos entender melhor!

Função par: f(-x) = f(x) Isso significa que os números x e -x possuem a mesma imagem. Exemplo Seja a função f(x) = x2 - 4 com domínio real. f(1) = -3 e f(-1) = -3, ou seja 1 e -1 possuem a mesma imagem -3. Exemplo: A função y = cosx é par, pois cos (-x) = cos x

Função ímpar: f(-x) = -f(x) Isso significa que os números x e -x possuem imagens opostas Exemplo Seja a função f(x) = 3x com domínio real. f(1) = 3 e f(-1) = -3, ou seja, 1 e -1 têm imagens opostas. Exemplo: A função y = senx é ímpar, pois sen (-x) = - sen x

Definição: Na série de Fourier a função f(x) é escrita como uma série trigonométrica, onde f(x) é definida no intervalo – L < x < L, com período T = 2L.

Chamamos a f(x) de série de Fourier. Os termos ao , an e bn são os coeficientes que variam dependendo da função que estamos analisando. L é o período da função que queremos representar como uma série.

Fórmula de Euler-Fourier Precisamos definir os coeficientes na expansão em série de Fourier do seguinte modo:     Definindo a0

Definindo an Definindo bn

Portanto, definiremos Série de Fourier como:  A serie de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo - L < x < L é:

sen n = sen(-n) = 0 cos (n) = cos(-n) = (-1)n

TEOREMA DE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES DE FOURIER Se a função f e sua derivada são contínuas por partes no intervalo -L < x < L, então f é igual a sua série de Fourier em todos os pontos de continuidade. Em um ponto c onde um salto de descontinuidade ocorre em f, a série de Fourier converge para a média

 Resumindo a convergência desta série de Fourier temos: Portanto, a série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade e para a médias dos limites laterais nos pontos de descotinuidade.

Analisando o gráfico percebemos que a série de Fourier converge para -1 para -L < x < 0 e converge para 1 para 0 < x < L. A série converge para zero ( valor médio).

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