Introdução à Mecânica dos Sólidos (LOM3081) Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de Lorena Departamento de Engenharia de Materiais Introdução à Mecânica dos Sólidos (LOM3081) Prof. Dr. João Paulo Pascon

2. Barras sob Carga Axial * Medidas de deformação 2.1. Elasticidade linear e o Módulo de Young 2.2. Sistemas Isostáticos 2.3. Efeitos de temperatura 2.4. Sistemas hiperestáticos

Medidas de Deformação Carregamento => tensões (causa) Efeito ? Cinemática (análise do movimento)

Medidas de Deformação Deformações: Valores médio e no ponto Unidade Normal Distorção Valores médio e no ponto Unidade

Exemplo 2.1. Deformações médias Para a chapa da figura, determinar a deformação normal (média) ao longo do lado AB, e a distorção média do canto A.

Exemplo 2.2. Deformação normal média Se a carga externa P provocou um deslocamento vertical de 10 in. em seu ponto de aplicação, quais as deformações médias nas hastes verticais? Dica: viga AD é rígida.

2.1. Elasticidade linear e o Módulo de Young Tensão => deformação Lei constitutiva (relação causa-efeito) Gráfico tensão-deformação

2.1. Elasticidade linear e o Módulo de Young Regime elástico-linear: Limite de proporcionalidade Limite elástico Lei de Hooke (uniaxial) Módulo de Young

2.1. Elasticidade linear e o Módulo de Young Robert Hooke (1635-1703) Inglês “Of Spring” (1678) Thomas Young (1773-1829) Definição do módulo elástico

Exemplo 2.3. Lei de Hooke uniaxial Determinar o módulo de Young para os diagramas abaixo.

Exemplo 2.4. Lei de Hooke uniaxial O sistema da figura é composto por um tubo rígido BC, e por um cabo de ancoragem AB. Se o diâmetro do cabo é de 5 mm, e a força P é igual a 1,5 kN, determinar a variação de comprimento no cabo. Adotar E = 200 GPa.

2. Barras sob Carga Axial

2. Barras sob Carga Axial

2. Barras sob Carga Axial

2.2. Sistemas Isostáticos Classificação de estruturas: Hipostática Isostática Hiperestática

2.2. Sistemas Isostáticos Estado uniaxial de tensão Hipóteses cinemáticas de barras sob carga axial Problema uniaxial Princípio de Saint Venant

2.2. Sistemas Isostáticos Deformação elástica: Barra prismática sob carga nas extremidades Caso geral de barra Barras com segmentos “constantes”

2.2. Sistemas Isostáticos Deslocamento: Variação de comprimento Absoluto Relativo Variação de comprimento

Exemplo 2.5. Carga axial Para a barra de aço (E = 29 x 106 lb/in²) da figura, determinar: (a) deslocamentos relativos dos trechos (δB/A, δC/B, δD/C) (b) deslocamentos absolutos dos trechos (δA, δB, δC, δD) (c) gráfico do deslocamento axial absoluto ao longo do eixo δ(x) (d) deslocamento absoluto a 18 in. do engaste (e) deslocamento relativo δD/B 1 kip = 1000 lb.

Exemplo 2.6. Carga axial No sistema abaixo, temos uma barra BD de latão (E = 105 GPa) com seção de 240 mm², uma barra CE de alumínio (E = 72 GPa) com seção de 300 mm², e um elemento rígido ABC. Se P = 10 kN, determinar os deslocamentos verticais de A, B e C.

Exemplo 2.7. Carga axial Sabendo que o elemento ACD em forma de L é rígido, determinar o deslocamento vertical do ponto A, e o deslocamento horizontal do ponto D. Dados: (EA)AB = 15000 kN; medidas em mm.

2.3. Efeitos de temperatura Efeito do aquecimento (resfriamento) Modelo linear uniaxial Elementos isostáticos: Alongamento provocado por ΔT (e não por σ)

2.3. Efeitos de temperatura Exemplo: barra de aço (α = 12 x 10-6 °C-1) com 1 m de comprimento com aumento de temperatura de 30°C:

Exemplo 2.8. Carga axial com temperatura Calcular o deslocamento vertical do ponto E se, além da carga P, houver um aumento de temperatura de 30°C nas barras verticais de alumínio (E = 10,9 106 psi, α = 23 10-6 °C-1). Dados: AAB = ACD = 0,2 in²; elemento horizontal BEC rígido.

Exemplo 2.9. Treliças planas Determinar o valor da força aplicada P necessária para que o deslocamento do ponto B seja igual a 2,5 mm para baixo. Calcular também o deslocamento do ponto A. Dados: AAB = AAC = AAD = 500 mm²; Eaço = 210 GPa.

Exemplo 2.10. Treliças planas A luminária de 25 kg é sustentada por um sistema de 3 hastes de aço (E = 200 GPa). Sabendo LAD = 40 cm, LAC = 60 cm, e LAB = 20 cm, determinar os deslocamentos dos pontos A e B.

2.4. Sistemas hiperestáticos Requisitos de uma estrutura Superposição de efeitos Limitações

2.4. Sistemas hiperestáticos

Exemplo 2.11. Sistemas hiperestáticos Calcular as reações de apoio.

2.4. Sistemas hiperestáticos Método de solução 1 (método das forças): 1. Escolha dos vínculos adicionais 2. Deslocamentos em função das reações adicionais 3. Imposição da compatibilidade geométrica referente aos vínculos adicionais

2.4. Sistemas hiperestáticos Alternativa para o método 1 (separação em casos isostáticos): 1. Eliminação dos vínculos adicionais 2. Análise independente de casos isostáticos 3. Cálculo dos deslocamentos correspondentes aos vínculos adicionais 4. Superposição dos efeitos 5. Imposição da compatibilidade geométrica

Exemplo 2.12. Sistemas hiperestáticos Determinar as reações em A e E, e os deslocamentos axiais dos pontos B, C e D. Dados: trecho AC de aço (E = 200 GPa); trecho CE de latão (E = 105 GPa). Dimensões em mm.

Exemplo 2.12. Sistemas hiperestáticos

Exemplo 2.13. Sistemas hiperestáticos Para uma variação de temperatura de 30°C na barra BD apenas, determinar as reações em E, e o esforço normal nas barras verticais. Dados: (EA)AC = 80000 kN; (EA)BD = 70000 kN; αAC = 11,7 10-6 °C-1; αBD = 20,9 10-6 °C-1.

Exemplo 2.13. Sistemas hiperestáticos

2.4. Sistemas hiperestáticos Método de solução 2 (método dos deslocamentos): 1. Identificação das deslocabilidades 2. Compatibilidade geométrica 3. Esforços internos em função dos deslocamentos 4. Equilíbrio

Exemplo 2.14. Sistemas hiperestáticos Determinar a força em cada poste cilíndrico se, além do carregamento externo, a temperatura aumentar de 20°C para 80°C. Dados: αaço = 12 x 10-6 °C-1; Eaço = 200 GPa; αalu = 23 x 10-6 °C-1; Ealu = 73,1 GPa; viga horizontal rígida.

Exemplo 2.15. Sistemas hiperestáticos Determinar a tensão normal média no aço e no concreto, para uma carga P = 150 kip. Dados: Eaço = 29 106 psi; Econc = 3,6 106 psi; daço = 3/4 in.

Exemplo 2.16. Sistemas hiperestáticos Determinar a força em cada cabo depois que a massa de 150 kg é suspensa em A. Dados: Eaço = 200 GPa; LAB = LAD = 2,0 m, e LAC = 1,6 m; dcabos = 2 mm.

Tópicos Medidas de deformação Conceito de elemento rígido Lei de Hooke uniaxial Variação de comprimento Deslocamentos absolutos e relativos Compatibilidade geométrica

Tópicos Deslocamentos em treliças planas Problemas hiperestáticos Variação térmica