Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos A = M – N e M facilmente invertível A x = b  (M – N) x = b  M x= N x + b  x=M –1 (N x + b) C=M –1 N d=M –1 b Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos Teorema do ponto fixo Para sistemas  (x) = M –1 (N x + b) Cálculo do erro  = ║M-1N║ e 0 <  < 1 (  - constante de Lipschitz) 2 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Método de Jacobi M=D N=-(L+U) Condição suficiente de convergência || M-1N || = || D-1(L+U) || < 1 Fórmula de recorrência Resolver cada equação i em ordem a xi C=-D-1(L+U) d=D-1b 3 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos Método de Jacobi TSist1 k 0.000000000000 1 2.000000000000 -1.55555555556 4.71428571429 4.8 2 0.425396825397 -2.98412698413 4.55555555556 1.6 0 c.d. 3 0.774603174603 -3.43844797178 3.92244897959 0.64 4 1.11871000252 -3.04066515495 3.84252960443 0.40 5 1.07112118922 -2.89044315669 4.00533995609 0.17 0 c.d 6 0.975952648902 -2.97866625074 4.04146212512 0.096 1 c.d. 7 0.979148400101 -3.02644339486 4.00266002106 0.048 8 1.00422467055 -3.00813276488 3.98946594434 0.026 1 c.d 9 1.00584017524 -2.99827987726 3.99827987726 .0095 10 0.999470043892 -2.99728877592 4.00257431819 0.0064 2 c.d. 11 0.998428027910 -3.00132079345 4.00069892744 0.0041 12 0.99998458771 -3.00083462511 3.99939806300 0.0016 13 1.00040769982 -2.99973760987 3.99975933393 0.0011 3 c.d. 14 1.00004378840 -2.99975713736 4.00013321144 0.00038 . Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Estimativa do erro Método de 1ª ordem (nas proximidades da raiz) Como então e 5 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos Exercício TSist1 (solução exacta xT=(1,-3,4)) Critério de paragem Método de Jacobi x(1) x(2) … x(4) … x(7) … x(11) … x(14) 2 0.42539… 1.11871 0.979148 0.99842… 1.0000437 -1.5555… -2.9841… -3.0406 -3.02644 -3.0013… -2.999757 4.71428… 4.55555… 3.8425 4.00266 4.00069… 4.000133 4.8 1.6 0.40 0.048 0.4110-2 0.3810-3 6 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Método de Gauss-Seidel M = L+D N = - U Condição suficiente de convergência || M-1N || = || (L+D)-1U || < 1 Fórmula de recorrência Só inverte D. Em vez de inverter L, resolve o sistema por substituição. Usa a matriz de Jacobi 7 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos Método de Gauss-Seidel TSist1 k 0.000000000000 1 2.000000000000 -0.88888888889 4.74603174603 4.8 2 0.279365079365 -3.57178130511 3.73368606702 2.7 3 1.22088183422 -2.80801097394 4.08640855519 0.95 0 c.d.c. 4 0.927038772711 -3.0627242114 3.97165576427 0.30 0 quase 1 c.d.c 5 1.02388253657 -2.97944171637 4.00928558626 0.097 1 c.d.c. 6 0.992174108771 -3.00673555764 3.9969575705 0.032 1 quase 2 c.d.c 7 1.00256408333 -2.99779311467 4.00099683628 0.011 2 c.d.c 8 0.99915988842 -3.00072307554 3.99967339105 0.0035 2 quase 3 c.d.c 9 1.00027525869 -2.99976308757 4.00010701194 0.0012 3 c.d.c 10 0.999909812740 -3.00007762328 3.99996493803 0.00037 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos Exercício TSist1 (solução exacta xT=(1,-3,4)) Critério de paragem Método de Gauss-Seidel x(1) x(2) … x(4) … x(6) … x(8) … x(10) 2 0.27936… 0.92703 0.992174 0.9995… 0.99990981 -0.8888… -3.5717… -3.0627 -3.00673 -3.0007… -3.0000776 4.74603… 3.73368… 3.97165 3.996957 3.99967… 3.99996493 4.8 2.7 0.30 0.032 0.3510-2 0.3710-3 9 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Condições suficientes de convergência Definições Uma matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (colunas) se Uma matriz A é Positiva Definida (PD) se xTAx >0 x  0. Matriz estritamente dominante Jacobi convergente Matriz PD Gauss-Seidel convergente 10 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Transformar o sistema Ax=b (A não singular) Determinar um sistema equivalente cuja matriz tenha diagonal estritamente dominante. Multiplicar o sistema por AT A*=ATA é uma matriz PD Demonstração: xTA*x = xTATAx A não singular ATAx=ATb =(Ax)T(Ax) =||Ax||2 Ax=0 sse x=0 11 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Eficiência dos métodos directos versus iterativos Métodos iterativos: Por iteração Em k iterações Métodos directos n2-n produtos k(n2-n) ≲ k n2 Os métodos iterativos são mais eficientes 12 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos