Equações Diferenciais Ordinárias Aula 1 Profª Célia Maria www.profceliamaria.wordpress.com

Introdução Muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento do mundo físico são proposições, ou relações, envolvendo a taxa segundo a qual as coisas acontecem (BOYCE, 2006, p. 1). Em linguagem matemática: Relações Equações Taxas Derivadas

Introdução Uma equação envolvendo uma variável dependente e suas derivadas com respeito a uma ou mais variáveis independentes é chamada Equação Diferencial. Equações contendo derivadas são Equações Diferenciais. Uma equação diferencial que descreve algum processo físico é chamada de modelo matemático do processo.

Introdução Equações Diferenciais são usadas para investigar problemas, tais como: Movimento de fluidos; Fluxo de corrente elétrica em circuitos; Dissipação de calor em objetos sólidos; Propagação e detecção de ondas sísmicas; Capital e juros na economia; Aumento ou diminuição da população.

Exemplo 1: Um objeto em queda Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Vamos formular uma equação diferencial que descreva o processo. 1. Identificando as variáveis envolvidas no processo e as unidades t – tempo (s) (variável independente) v – velocidade (m/s) (variável dependente v = v (t))

Vamos supor que a velocidade é positiva quando o sentido do movimento é para baixo, isto é, quando o objeto está caindo. 2. Lei que rege o problema A lei que governa o movimento de objetos é a segunda lei de Newton: F = ma (1) m – massa do objeto (Kg) a – aceleração (m/ S2) F – força total agindo sobre o objeto (N)

3. Expressando a 2ª lei de Newton em função das variáveis escolhidas no item 1. Temos, Logo, a eq. (1) pode ser reescrita na forma: (2)

Forças que agem sobre um objeto em queda: A gravidade exerce uma força igual ao peso do objeto: mg, onde g = 9,8 m/ S2 é a aceleração da gravidade (sempre age para baixo no sentido positivo) Força de resistência do ar, que é proporcional à velocidade, isto é, , onde é uma constante chamada de coeficiente de resistência do ar e depende do objeto (liso, rugoso). A força de resistência do ar sempre age no sentido negativo (para cima). (3)

Da eq. (2), temos: (4) A eq. (4) é um modelo matemático de um objeto caindo na atmosfera, próximo ao nível do mar. Note que e são parâmetros que dependem do objeto particular que está caindo. Como resolver a eq. (4)? Temos que encontrar uma função que satisfaça a equação. Faremos isso na próxima aula!!!

Fazendo e (5) Vamos investigar o comportamento das soluções da eq. (5) sem resolver a equação diferencial, usando os conceitos de Cálculo. Recorde do Cálculo 1 que dv/dt é a inclinação da reta tangente ao gráfico de v. Isto é, dv/dt é a inclinação de uma solução v = v (t).

Atribuindo valores para v na eq Atribuindo valores para v na eq. (5), podemos fazer uma análise qualitativa sobre o comportamento das soluções. Por exemplo, para v = 40, dv/dt = 1,8. Em qualquer ponto onde v = 40, a inclinação de uma solução v = v(t) é igual a 1,8. Para v = 50, dv/dt = - 0,2. Em qualquer ponto onde v = 50, a inclinação de uma solução v = v(t) é igual a -0,2. Quais os valores de v para os quais dv/dt = 0?

Campo de direções e solução de equilíbrio para eq. (5) v= 49 m/s Solução de equilíbrio Cada segmento de reta é tangente ao gráfico de uma solução da eq. (5). Observando-se o campo de direções para eq. (5), pode-se concluir que todas as outras soluções convergem para solução de equilíbrio quando t fica muito grande. .

Note que: (Coeficiente angular positivo) (Coeficiente angular negativo) Soluções abaixo da solução de equilíbrio aumentam de velocidade com o tempo, soluções acima diminuem de velocidade e todas as soluções se aproximam da solução de equilíbrio quando t fica muito grande.

Campos de Direções: É uma ferramenta valiosa no estudo das equações diferenciais da forma: onde é uma função dada de duas variáveis e , algumas vezes chamada de função taxa de variação.

Exemplo 2: Ratos do campo e corujas Considere uma população de ratos do campo que habitam uma certa área rural. Vamos supor que, na ausência de predadores, a população de ratos cresce a uma taxa proporcional à população atual (hipótese inicial usual em um estudo de crescimento populacional). Considerando o tempo por t e a população de ratos por p(t), temos: (6) onde r é o fator de proporcionalidade chamado de taxa constante ou taxa de crescimento.

Suponha t em meses e que a taxa r tenha o valor de 0,5 por mês Suponha t em meses e que a taxa r tenha o valor de 0,5 por mês. Então dp/dt tem unidade de ratos/mês. Suponha agora que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos do campo por dia. Temos a seguinte equação diferencial: (7) Investigue graficamente as soluções da eq. (7).

Campo de direções e solução de equilíbrio para eq. (7) Observa-se, do campo de direções, que outras soluções divergem da solução de equilíbrio.

De uma forma geral, tem-se: (8) onde r é a taxa de crescimento, k é a taxa predatória. A solução de equilíbrio da eq. (8) é: As soluções acima da solução de equilíbrio crescem, enquanto as soluções que estão abaixo decrescem.

Exemplo 3: Resfriamento (Lei de Newton) Consideremos um corpo sem aquecimento interno e cuja temperatura, em cada instante é mais elevada que a temperatura ambiente. De acordo com a lei do resfriamento de Newton: “ a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura T(t) e a temperatura do meio ambiente Ta, em cada instante t ”. onde a constante de resfriamento (ou aquecimento) k é característica do corpo considerado.

Considerando K > 0, temos: (o corpo esfria) (o corpo esquenta) A tendência da temperatura do corpo é de atingir a temperatura ambiente quando então não mais varia, isto é, A temperatura ambiente é a temperatura de equilíbrio ou temperatura estacionária.