Econometria Propriedades assintóticas dos estimadores MQO Cap. 5 Wooldridge – MQO assintótico

Propriedades assintóticas O número de resultados estatísticos exatos, tais como o valor esperado ou a distribuição verdadeira, em muitos modelos é baixo. Usualmente, utilizamos resultados aproximados com base no que se sabe do comportamento de determinadas estatísticas de grandes amostras.

Convergência Definições, tipos de convergência quando n cresce: 1. Para uma constante; exemplo, a média amostral, 2. Para uma variável aleatória; exemplo, uma estatística t com n -1 graus de liberdade.

Convergência para uma constante Convergência de uma variável aleatória O que significa uma variável aleatória convergir para uma constante? Convergência da variância para zero. A variável aleatória converge para algo que não é aleatório.

Resultados de convergência Convergência de uma sequência de variáveis aleatórias para uma constante A média converge para uma constante e a variância converge para zero. Teorema de convergência para momentos amostrais. Momentos amostrais convergem em probabilidade para seus análogos populacionais. (1/n)Σig(zi) converge para E[g(zi)]. Análogo Populacional Momento Amostral

Convergência em probabilidade A probabilidade que a diferença entre xn e c seja maior do que ε para qualquer ε vai para zero. Ou seja, xn fica perto de c.

Convergência em probabilidade Convergência em probabilidade significa que os valores das variáveis que não estão próximos de c ficam cada vez mais improváveis à medida que o n cresce. Exemplo: Suponha uma variável aleatória xn que assume dois valores, zero e n, com probabilidades (1-1/n) e (1/n), respectivamente. Quando n aumenta , o segundo valor é menos provável. Xn converge em probabilidade para zero. Toda a massa da distribuição de probabilidade fica concentrada em pontos próximos de c.

Consistência de um estimador Se a variável aleatória xn é um estimador (por exemplo, a média), e se: plim xn = θ xn é um estimador consistente de θ.

Teorema de Slutsky Se xn é uma variável aleatória tal que plim xn = θ. Onde θ é uma constante. g(.) é uma função contínua. g(.) não é função de n. Conclusão: plim[g(xn)] = g[plim(xn)] e g[plim(xn)] existe. Limite de probabilidade não necessariamente funciona para esperanças.

Corolários Slutsky

Resultados de Slutsky para Matrizes Funções de matrizes são funções contínuas de elementos das matrizes. Se plimAn = A e plimBn = B (elemento a elemento), Plim(An-1) = [plim An]-1 = A-1 e plim(AnBn) = plimAnplim Bn = AB

Distribuições limites Convergência para um tipo de VA e não para uma constante xn é uma sequência de VA com Fn(xn). Se plim xn = θ (constante), Fn(xn) será um ponto. Mas, Fn pode convergir para uma variável aleatória específica. A distribuição desta VA será a distribuição limite de xn.

Teorema do Limite Central Descreve o comportamento de uma variável aleatória que envolve soma de variáveis “Tendência para a normalidade.” A média de uma amostra aleatória de qualquer população (com variância finita), quando padronizada, tem uma distribuição normal padrão assintótica.

Teorema do Limite Central Se x1, x2, … , xn é uma amostra aleatória de uma população cuja distribuição de probabilidade tem média μ e variância finita igual a σ2 e temos que:

Distribuição assintótica Uma distribuição assintótica é uma distribuição usada para a aproximar a verdadeira distribuição de amostra finita de uma variável aleatória. Construída a partir da distribuição limite da função de uma variável aleatória. Se é assintoticamente normalmente distribuído com média μ e variância σ2/n.

Eficiência assintótica Comparação de variâncias assintóticas Como comparamos estimadores consistentes? Se convergem para constante, ambas variâncias vão para zero. Eficiência assintótica: Um estimador é assintoticamente normal, este estimador é eficiente assintoticamente se a matriz de covariância de qq outro estimador consistente e assintoticamente normal exceder (1/n)V por uma matriz definida não negativa.

Eficiência assintótica Exemplo: Amostra aleatória de uma distribuição normal, A média amostral é assintoticamente normal com [μ,σ2/n] Mediana é assintoticamente normal com [μ,(π/2)σ2/n] Média é assintoticamente mais eficiente.

Propriedades assintóticas do EMQ A hipótese de normalidade não é necessária para derivarmos as propriedades assintóticas. Hipóteses: Convergência de XX/n para uma matriz Q. Convergência de X’/n para 0. Suficiente para a consistência. Hipóteses: Convergência de (1/n)X’ para um vetor com distribuição normal – normalidade assintótica.

Convergência em média quadrática E[b|X]=β para qualquer X. Var[b|X]0 para um X específico b converge para β b é consistente

Limite de probabilidade A inversa é uma função contínua da matriz original. Este plim deverá ser zero

Distribuição assintótica b  β em probabilidade. Como descrever esta distribuição? Não tem uma distribuição limite Variância b  0 Como estabilizar a variância? Var[n b] ~ σ2Q-1 Mas, E[n b]= n β que diverge n (b - β)  é uma variável aleatória com média e variância finitas (transformação que estabiliza)

Distribuição limite n (b - β) = n (X’X)-1X’ε = (X’X/n)-1(X’ε/  n) No limite, isto é igual a (plim): Q-1(X’ε/ n) Q é uma matriz positiva definida. Comportamento depende da variável aleatória (X’ε/ n)

Distribuição no limite: Normal

Distribuição assintótica

Eficiência assintótica Um estimador é assintoticamente eficiente se é consistente, assintoticamente normalmente distribuído, e tem uma matriz de covariância que não é maior que uma matriz de covariância de qualquer outro estimador consistente e com distribuição assintótica normal.