Lógica matemática FACVLDADE MAURICIO DE NASSAU – FAP PARNAIBA Bacharelado em Sistemas de Informação Bloco: I Lógica matemática Aula 01 Prof. Ricardo Anderson

Ementa Indução matemática. Conjuntos. Álgebra de Conjuntos. Relações Binárias. Funções. Estruturas algébricas. Reticulados. Álgebra Booleana. Técnicas de demonstração de teoremas. Análise Combinatória: Distribuição, permutação e combinação. Enumeração por recursão. Cardinalidade da união de conjuntos. Enumeração de um conjunto relativo a um grupo de permutação. Linguagem de conjuntos.

Competências Especificas Efetuar mudanças de base em sistemas de Numeração. Efetuar Operações Aritméticas com Binários. Compreender Codificação e Operações da álgebra de Boole com simplificações do mapa de Karnaugh. Conhecer analise combinatória. Entender a cardinalidade da união de conjuntos.

Unidade I SISTEMAS NUMÉRICOS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS BINÁRIOS INTRODUÇÃO À CODIFICAÇÃO ÁLGEBRA DE BOOLE PORTAS LÓGICAS E SIMBOLOGIA MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS MAPA DE KARNAUGH

Unidade II NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA PROPOSIÇÕES LÓGICAS

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Dúvidas?

Sistemas de Numeração O número é um conceito abstrato que representa a idéia de quantidade. Sistema de numeração é o conjunto de símbolos utilizados para a representação de quantidades e as regras que definem a forma de representação. Não posicional Posicional

1. Sistemas de Numeração Não Posicional O valor de cada símbolo é determinado de acordo com a sua posição no número. Exemplo: sistema de algarismos romanos. Símbolos: I, V, X, L, C, D, M. Regras: Cada símbolo colocado à direita de um maior é adicionado a este. Cada símbolo colocado à esquerda de um maior tem o seu valor subtraído do maior.

1. Sistemas de Numeração Não Posicional Sistema de numeração egípcio

2. Sistemas de Numeração Posicional O valor de cada símbolo é determinado de acordo com a sua posição no número. Um sistema de numeração é determinado fundamentalmente pela BASE, que indica a quantidade de símbolos e o valor de cada símbolo. Do ponto de vista numérico, o homem lida com o Sistema Decimal.

2.1. Sistema Decimal Base: 10 (quantidade de símbolos). Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Embora o Sistema Decimal possua somente dez símbolos, qualquer número acima disso pode ser expresso usando o sistema de peso por posicionamento, conforme o exemplo a seguir: 3 x 103 + 5 x 102 + 4 x 101 + 6 x 100 3000 + 500 + 40 + 6 = 3546

2.1. Sistema Decimal Obs.: Dependendo do posicionamento, o digito terá peso. Quanto mais próximo da extrema esquerda do número estiver o digito, maior será a potência de dez que estará multiplicando o mesmo, ou seja, mais significativo será o digito.

2.2 Sistema Binário É o sistema de numeração mais utilizado em processamento de dados digitais, pois utiliza apenas dos algarismos (0 e 1), sendo portanto mais fácil de ser representado por circuitos eletrônicos (os dígitos binários podem ser representados pela presença ou não de tensão). Base: 2. (quantidade de símbolos) Elementos: 0 e 1.

2.2 Sistema Binário Os dígitos binários chamam-se BITS (Binary Digit). Assim como no sistema decimal, dependendo do posicionamento, o algarismo ou bit terá um peso. O da extrema esquerda será o bit mais significativo e o da extrema direita será o bit menos significativo. O Conjunto de 8 bits é denominado Byte.

2.3. Sistema Octal O Sistema Octal foi criado com o propósito de minimizar a representação de um número binário e facilitar a manipulação humana. Base: 8. (quantidade de símbolos) Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

2.3. Sistema Octal O Sistema Octal (base 8) é formado por oito símbolos ou digitos, para representação de qualquer digito em octal, necessitamos de três digitos binários. Os números octais têm, portanto, um terço do comprimento de um número binário e fornecem a mesma informação.

2.4. Sistema Hexadecimal Base: 16. (quantidade de símbolos) Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. O Sistema Hexadecimal ( base 16 ) fo criado com o mesmo propósito do Sistema Octal, o de minimizar a representação de um número binário.

2.4. Sistema Hexadecimal Se considerarmos quatro dígitos binários, ou seja, quatro bits, o maior número que se pode expressar com esses quatro bits é 1111, que é, em decimal 15. Como não existem símbolos dentro do sistema arábico, que possam representar os números decimais entre 10 e 15, sem repetir os símbolos anteriores, foram usados símbolos literais: A, B, C, D, E e F.

Conversões entre os Sistemas de Numeração Teorema Fundamental da Numeração Relaciona uma quantidade expressa em um sistema de numeração qualquer com a mesma quantidade no sistema decimal N = dn - 1x bn - 1 + ... + d1 x b1 + d0 x b0 + d-1 x b-1 + d-2 x b-2 + ... Onde: d é o dígito, n é a posição e b é a base.

Exemplos 128(base10) = 1 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100 54347(base10) = 5 x 104 + 4 x 103 + 3 x 102 + 4 x 101 + 7 x 100 100(base2) = 1 x 22 + 0 x 21 +0 X 20 = 4 101(base2) = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 X 20 = 5 24(base8) = 2 x 81 + 4 x 80 = 16 + 4 = 20 16(base8) = 1 x 81 + 6 x 80 = 8 + 6 = 14

Tabela de conversão de números Decimal Binário Octal Hexadecimal 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 1010 12 A 1011 13 B 1100 14 C 1101 15 D 1110 16 E 1111 17 F   Tabela de conversão de números

Conversão Decimal-Binário Dividir sucessivamente por 2 o número decimal e os quocientes que vão sendo obtidos, até que o quociente de uma das divisões seja 0. O resultado é a seqüência de baixo para cima de todos os restos obtidos.

Conversão Decimal-Binário

Conversão Decimal-Binário Caso exista fração: a parte inteira não muda. Aplica-se multiplicações sucessivas na parte à direita da vírgula.

Exercícios Converta em binário: a) 13,5 b) 21,75 c) 8,710

Conversão Binário-Decimal Aplica-se Teorema Fundamental da Numeração

Conversão Decimal-Octal Divisões sucessivas por 8. Multiplicações sucessivas por 8 (parte fracionária). O resultado é a seqüência de baixo para cima de todos os restos obtidos.

Conversão Octal-Decimal Aplica-se Teorema Fundamental da Numeração

Conversão Decimal-Hexa Divisões sucessivas por 16. Multiplicações sucessivas por 16 (parte fracionária).

Conversão Hexa-Decimal Aplica-se Teorema Fundamental da Numeração

Conversão Hexa-Binário Agrupamento de 4 bits.

Conversão Binário-Hexa Agrupamento de 4 bits.

Conversão Octal-Binário Agrupamento de 3 bits.

Conversão Binário-Octal Agrupamento de 3 bits.

Conversão Octal-Hexa Dois passos: Converter octal para binário. Converter binário para hexa.

Conversão Hexa-Octal Dois passos: Converter hexa para binário. Converter binário para octal.

Operações Aritméticas no Sistema binário Adição A adição no sistema binário é realizada exatamente da mesma forma que uma adição no sistema decimal. Vamos inicialmente realizar uma adição na base 10 e posteriormente outra na base 2. Seja a operação 85 + 18. 85 +18 103

Adição Somamos por colunas à partir da direita, temos 8+5=13, como a soma excedeu o maior dígito disponível, usamos a regra do transporte para a próxima coluna. Assim, dizemos que dá 3 e “vai um”. Este transporte “vai um” é computado na soma da próxima coluna, que passa a ser 8+1+1=10, novamente usamos o transporte e dizemos que dá 0 e “vai um” abrindo uma nova coluna que é 0+0+1=1. Obtemos desta forma o resultado 103.

Adição Nos casos “a”,”b” e “c” não houve transporte. Vamos agora para o sistema base 2, como temos apenas dois dígitos, vamos verificar quais os possíveis casos que ocorrerão na soma por colunas: a) 0 b) 0 c) 1 d) 1 e) 1 +0 +1 +0 +1 1 0 1 1 10 +1 11 Nos casos “a”,”b” e “c” não houve transporte.

Adição No caso “d” houve transporte, o resultado é 0 e “vai um” e no caso “e” realizamos a soma de três parcelas incluindo um transporte, o resultado é 1 e “vai um”. Vamos agora efetuar 11012+10112, temos:

Adição Outro exemplo, efetuar 111012 + 10012 Ainda outro exemplo, efetuar 1012+1112+102

Subtração em binário Como o método também é análogo ao da subtração no sistema decimal, vamos ver quais os possíveis casos que ocorrerão na subtração por colunas. a) 0 b) 0 c) 1 d) 1 -0 -1 -0 -1 0 1 1 0

Subtração No caso “b”, o resultado será 1, mas ocorrerá um transporte para a coluna seguinte, que deve ser acumulado no subtraendo. Exemplificando, vamos efetuar 11102 – 10012

Subtração Outro exemplo, vamos efetuar 11000 - 101

Multiplicação no sistema binário Novamente análoga ao caso decimal. Agora os casos possíveis são: a) 0x0 = 0 b) 0x1 = 0 c) 1x0 = 0 e d) 1x1 = 1

Multiplicação no sistema binário Exemplificando, efetuar 111102 x 112

Multiplicação no sistema binário Outro exemplo, efetuar 11012 x 102

Notação de números Binários Positivos e Negativos Em aplicações práticas, os números binários devem ser representados com sinal. Uma maneira de fazer isto é adicionar um bit de sinal ao número. Este bit é adicionado à esquerda do número, por convenção se for 0, o número em questão é positivo, caso seja 1, o número é negativo. Este processo é denominado sinal-módulo.

Notação de números Binários Positivos e Negativos Vamos ver alguns exemplos: Representar em binários sinal-módulo os números 2310 , -1510 , 1110 e -910 usando palavras de 8 bits. 2310 = 101112 usando 8 bits temos: 000101112 1510 = 11112 usando 8 bits temos: 000011112 como o sinal é negativo vem – 1510 = 100011112. 1110 = 10112 usando 8 bits temos: 000010112 910 = 10012 usando 8 bits temos: 000010012 , como o sinal é negativo vem – 910 = 100010012

Notação de números Binários Positivos e Negativos Outra forma de representação de números negativos bastante utilizada é o complemento de 2. Para obtermos o complemento de 2 de um número binário, precisamos inicialmente converter o número em seu complemento de 1.

Notação de números Binários Positivos e Negativos O complemento de 1 de um número binário obtém-se trocando cada bit pelo seu complemento (01 e 1 0). A seguir, soma-se 1 ao complemento de 1, obtendo assim o complemento de 2.

Notação de números Binários Positivos e Negativos Vamos exemplificar obtendo os complementos de 2 dos números binários abaixo: binário compl de 1 compl de 2 10001001 01110110 01110111 00111100 11000011 11000100 10011111 01100000 01100001 11000101 00111010 00111011 01101011 10010100 10010101

Notação de números Binários Positivos e Negativos Devemos observar que devido ao seu emprego em hardware os números binários são representados sempre com um número fixo de bits. A conversão inversa, ou seja, de um número em representação complemento de 2 para a notação binária original é feita obtendo-se novamente o seu complemento de 2.

Pra saber mais... Faça 10 – 5 utilizando complemento a 2. Suponha que seu processador trabalhe com números de 5 bits Na verdade, deve-se fazer 10 + (-5) 10, em binário é: 01010 5, em binário é: 00101

Pra saber mais... Aplicando o complemento a 2, obteremos -5: 00101. Invertendo seus bits, temos: 11010 Fazendo 11010 + 1, temos 11011 Agora, basta somar: 01010 + 11011. Assim, obtemos 100101. Como o processador é de 5 bits, o bit mais à esquerda a mais será desprezado. Assim, o número que obtive como resultado foi 00101. De fato, o resultado é 5.

Representação no Computador O computador trabalha com grupos de bits (palavra). Em geral, essas palavras são de 32 ou 64bits. Em geral, ele usa uma palavra para representar os números inteiros (INT, LONG, SHORT...) e um bit é utilizado para indicar o sinal do número (0 positivo e 1 negativo).

Utilização do complemento de 2 em operações aritméticas. Exercícios Efetue as operações binárias a) 10001+1111 b) 1110+1001011 c) 1011+ 11100 d) 110101+1011001+1111110 e) 1100+1001011+11101 f) 10101-1110 g) 100000-11100 h) 1011001-11011 i) 11001x101 j) 11110x110 k) 11110x111 Represente os números em notação sinal-módulo 8bits a) 97 b) -121 c) 79 d) -101 Represente os números do exercício anterior em complemento de 2. Efetue as operações utilizando complemento de 2. a) 111100-111010 b) 101101-100111

Por hoje é só pessoal! Obrigado pela atenção!