7 Resultados de Medições Indiretas Metrologia e Controle Dimensional- MCD

Motivação b ± u(b) Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? c ± u(c) A = b . c u(A) = ?

Medições indiretas O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. Determinação da corrente elétrica multiplicando a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência.

O Modelo Matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: A = l . h V = d / t

Dependência estatística & correlação Denomina-se variável aleatória uma função, ou variável, cujo valor não pode ser previsto exatamente, mas somente em termos de probabilidade. Exemplos: A soma do valor de dois dados lançados ao acaso; As indicações de medições repetidas de um mensurando invariável apresentam variações em função do efeito aleatório; A indicação de um SM também é uma variável aleatória.

Dependência estatística & correlação Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do Dólar.

Dependência estatística Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar. A temperatura da água do mar em duas praias próximas.

Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando: Há erros sistemáticos intencionalmente não compensados nas medições de ambas grandezas; Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada.

Nas medições indiretas há boas chances de não haver correlação se: Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição.

Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC) Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade Podem ser calculados analitica ou numericamente

Exemplo: Caso Geral de MNC Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:

Medições Realizadas Para a massa: m = (1580 ± 22) g nm = 14 (graus de liberdade) Para o diâmetro: D = (25,423 ± 0,006) mm nD = ∞ (graus de liberdade) Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm nh = 14 (graus de liberdade) h D

Massa Específica h D

Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas. A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 g u(D) = U(D)/t = 0,006 /2,00 = 0,0030 mm u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm

Cálculo da incerteza combinada

Cálculo da incerteza combinada

Cálculo da incerteza combinada

Cálculo do número de graus de liberdade efetivos

Valor da massa específica: U() = 2,20 . u() U() = 2,20 . 0,0002562 = 0,000564 g/mm3  = (0,04024  0,00056) g/mm3

Caso Geral de MC Incerteza máxima possível Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC) Caso Geral de MC Incerteza máxima possível = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analitica ou numericamente

Exemplo: Caso Geral de MC Na determinação do volume (V) de um cilindro usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um mesmo paquímetro. Foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:

Medições Realizadas Para o diâmetro: D = (25,42 ± 0,10) mm nD = 14 (graus de liberdade) Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm nh = 14 (graus de liberdade) h D

Volume h D

Considerando que as medições foram efetuadas com o mesmo sistema de medição (paquímetro), é muito provável que as medidas das duas grandezas sejam correlacionadas. A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(D) = U(D)/t14= 0,10/2,20 = 0,045 mm u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm

Cálculo da incerteza combinada

Cálculo do número de graus de liberdade efetivos

Valor do Volume: U(Vol) = 2,0 . u(Vol) U(Vol) = 2,0 .245,04 = 490,08 m3 Vol = (39250  490) mm3

Dependência Estatística Parcial Grandezas de entrada não podem ser realisticamente modeladas como sendo perfeitamente dependentes e nem independentes do ponto de vista estatístico; A forma de quantificar a dependência estatística linear parcial é através do coeficiente de correlação linear entre cada par de grandezas de entrada envolvidas; Haverá dependência parcial se o coeficiente de correlação for um número não inteiro.

Caso Geral = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analitica ou numericamente

Estimativa do Coeficiente de Correlação a partir de n pares de valores sendo r(X, Y) estimativa do coeficiente de correlação para X e Y xi e yi i-ésimo par de valores das variáveis X e Y valores médios das variáveis X e Y n número total de pares de valores das variáveis X e Y