Movimento Browniano (Uma Introdução) Jalves S. Figueira UTFPR- Pato Branco Novembro , 2011 jalfigueira@gmail.com http://www.utfpr.edu.br/jalves

Resumo Um experimento de Pensamento; Movimento Browniano e os Fractais; Aspectos históricos:A realidade dos átomos; Tese de Einstein (1905); Atividades de laboratório; Final.

Experimento de Pensamento Imagine que você esteja em uma sala espaçosa. Um grande Shopping center. Houve um apagão, e a cidade toda está sem luz. Somente uma luz de emergência que acende em pequenos intervalos de tempo. Você caminha desesperado por encontrar uma janela. A Luz de emergência acende em intervalo de tempos de t =15 s. Você não tem idéia para onde está indo. Einstein (1879-1955)

1- Atividade Marque no papel suas posições A, B, C, D, ... no intervalo de tempo T=15s . Após ligue os pontos. A trajetória não é suave

Primeiro relato Brown teria descoberto a fonte da vida?? O Botânico Robert Brown, no ano de 1827 ao examinar no microscópio grãos de poléns num líquido observou que estes faziam um movimento incessante e caótico. Brown teria descoberto a fonte da vida??

Definição: Física Matemática Movimento browniano é o incessante e caótico movimento de pequenas partículas em suspensão em um fluido. Resultado de uma força aleatória exercida pelas colisões com as moléculas do fluido. Matemática Qual geometria representa o movimento browniano.

Apresenta uma geometria fractal. Fractais são figuras da geometria não-Euclidiana. Objetos com infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Cada parte é semelhante ao objeto original.

Não é possível descrever o movimento utilizando as equações da cinemática da mecânica clássica. O movimento não tem velocidade instantânea ou seja a trajetória de uma partícula browniana não tem tangente . Velocidade média : Velocidade instantânea:

Einstein (1905) Einstein geralmente é lembrado pelas rupturas da mecânica Newtoniana. Com os conceitos relativísticos de tempo e espaço. Publicou em 1905 cinco trabalhos, um deles sobre o movimento browniano resultado da tese de Doutorado. Recebeu o premio Nobel em 1922 pela explicação do efeito fotoelétrico.

Einstein (1905) Einstein adotou uma visão realista sobre a existência de átomos e moléculas. Procurando determinar o tamanho das moléculas e o número de Avogadro, analisa uma solução de açúcar e água. Einstein percebeu que não tinha sentido descrever uma trajetória individual, que a velocidade não era o conceito chave que carregava as informações principais. Construiu um modelo para o movimento Browniano com bases na teoria cinética dos gases e teoria molecular do calor.

Teoria Cinética Molecular Toda matéria é construida de átomos. Um gás é constituido de muitas partículas em movimento caótico. As moléculas são consideradas pontos materiais. As colisões entre duas moléculas ou entre uma molécula e uma parede do recipiente são supostas perfeitamente elásticas. U (energia interna) = é função da energia mecânica das partículas individuais. (U)med = nkT/2, n = número de graus de liberdade

Movimento de micelas de Leite examinado com a ferramenta de análise de vídeos e modelagem Tracker.

Caminho aleatório em duas dimensões. 2 – Atividade Caminho aleatório em duas dimensões. Inicialmente com uma folha quadriculada marque os eixos cartesianos x e y . Cada lado do quadrado mede uma unidade de comprimento l=1. Coloque a partícula (objeto marcador) na origem (0,0) e lance o dado uma vez seguindo as instruções. Se a face for: 1. conte um passo para direita. 2. conte um passo para esquerda. 3. conte um passo para frente. 4. conte um passo para trás. 5. Não conte passos. Repita o lançamento. 6. Não conte passos. Repita o lançamento. Repita o lançamento seguindo as instruções até que sejam contados dez passos marcando o caminho. Repita até que N=100.

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=1484.

Jean Perrin (1870-1942) Perrin utilizando um ultra- microscope realizou medidas quantitativas do movimento Browniano em 1908. Verificou as equações de Einstein determinando o número de Avogadro entre N = 6.5-6.9x1023 Jean Perrin determinou o tamanho das moléculas. Recebeu o Premio Nobel em 1926

Caminho Aleatório < x > =0 , distância média é nula. Um modelo para descrever o movimento browniano é o caminho aleatório. Em uma dimensão, temos que o “jogador” começa em x=0 e a cada movimento é solicitado a dar um passo a frente (direção +x) ou para trás( na direção –x). A escolha é aleatória. < x > =0 , distância média é nula. < x2> =N , distância média quadrática é igual ao número de passos N. <x2>=NL2, passos de comprimento l xrms = Raiz(< x2 >) , raiz da distância média quadrática. … http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/brownian.html

Observação do movimento browniano no Microscópio leite Água destilada Lâminas para solução Lamínulas de vidro

1- Pressão osmótica p = pressão osmótica A pressão exercida por uma solução sobre uma membrama semi-permeavel, impedindo a passagem do soluto é dada pela leis dos gases perfeitos. p = pressão osmótica  = concentração da solução N A = número de Avogadro R = constante dos gases T = temperatura absoluta

2- Pressão osmótica Einstein considerou que as moléculas grandes de açúcar estão sujeitas a uma força de atrito viscoso dada pela lei de Stokes Sabe-se porém que as partículas se difundem devido ao gradiente de pressão ( força por unidade de volume). Assim, no equilíbrio temos:

3- Pressão osmótica Obtemos assim uma expressão para a velocidade v das partículas. Que resulta, regime estacionário, um fluxo ao longo da direção x sobre uma secão de area A. E da relação da pressão obtemos que: O que resulta em um coeficiente de difusão D função da temperatura T, viscosidade η , número de Avogadro NA e raio das partículas a.

Equação de Langevin -1a Partindo da segunda lei de Newton , Paul Langevin (1908) , derivou uma equação diferencial para o movimento browniano a = raio das partículas. ƞ = viscosidade da agua . Fext força aleatória sobre a partícula em suspensão.

Equação de Langevin – 1b pelo teorema da equipartição da energia, proposto por Clerk Maxwell. ½mV2 = kT/2 energia de uma partícula para cada grau de liberdade é função da temperatura. k é a constante de Boltzmann. chega-se a solução

Fim