ME623A Planejamento e Pesquisa

5. Experimentos Fatoriais Experimento Fatorial com Dois Fatores Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores) Experimento Fatorial 2k Única Replicação de Um Fatorial 2k Experimento Fatorial Fracionado 2k-p

Fatoriais 23 - Exemplo Refrigerante Vamos voltar no exemplo do refrigerante A idéia é controlar três fatores durante o processo de engarrafamento: Porcentagem de CO2: 10 e 14% (antes tínhamos 12% também) Pressão da máquina: 25 e 30 psi Velocidade da linha de produção: 200 ou 250 A varíavel resposta é do desvio da altura do líquido na garrafa em relação ao valor nominal A engenheira decidiu rodas duas replicações para cada tratamento

Fatoriais 23 - Exemplo Refrigerante Os dados estão na tabela abaixo Pressão (B) 25 30 CO2 (A) Velocidade(C) Velocidade (C) 200 250 10 −3 −1 1 14 5 7 4 6 9 11

Exemplo – Refrigerante Também podemos escrever os dados assim: Fator Replicação CO2 (A) Pressão (B) Velocidade (C) I II Tratamento − −3 −1 (1) = −4 + 5 4 a = 9 b = −1 7 9 ab = 16 c = −1 6 ac = 13 1 bc = 2 10 11 abc = 21

Exemplo – Refrigerante Visualização dos dados no cubo: bc = 2 abc = 21 c = −1 ac = 13 b = −1 ab = 9 Fator B (1) = −4 a = 9

Fatoriais 23 – Exemplo Refrigerante Tabela dos sinais para calcular os efeitos Efeito Fatorial Tratamento I A B AB C AC BC ABC (1) = −4 + − a = 9 b = −1 ab = 16 c = −1 ac = 13 bc = 2 abc = 21

Fatoriais 23 – Exemplo Refrigerante De maneira geral, o cálculo dos efeitos num fatorial 2k é feito da seguinte forma: Nesse exemplo, os efeitos principais são:

Fatoriais 23 – Exemplo Refrigerante Cálculo das interações de 1ª ordem (dois a dois): E a interacão ABC:

Fatoriais 23 – Análise de Variância As SS num fatorial 2k seguem a seguinte fórmula: No exemplo anterior:

Fatoriais 23 – Análise de Variância Por fim, temos: e Resumo dos Efeitos Estimados

Exemplo Refrigerante Tabela ANOVA: A única interação significante é a interação entre CO2 e pressão (p-valor = 0.0372) Todos os efeitos principais são significantes a 1%

Significância dos Efeitos – além da ANOVA A ANOVA é o método formal para determinar se os efeitos de um fator são não nulos Existem outros métodos que podem ser úteis Relembrando, o efeito de um fator é estimado por: A variância do efeito é:

Significância dos Efeitos – além da ANOVA Isso porque cada contraste é uma combinação linear de 2k totais de tratamentos, e cada total consiste de n observações: Então o erro padrão (EP) do efeito é: Com isso, podemos calcular IC para cada efeito: onde 2k(n – 1) são os graus de liberdade do erro Vamos ilustrar esse método com o exemplo do refrigerante

Significância dos Efeitos – além da ANOVA Da tabela ANOVA temos que MSE = 0.813 com 8 graus de liberdade Então o erro padrão (EP) do efeito é: Sendo t0.025, 8 = 2.31, temos os seguintes IC de 95%: Essa análise indica que todos os efeitos principais (A, B e C) e a interação AB são importantes, pois o zero não está contido no IC

Delineamento Fatorial 2k geral Os métodos que vimos até aqui podem ser generalizados para o caso 2k Temos k fatores com dois níveis cada. E ainda: k efeitos principais interações dois a dois interações três a três … até uma interação com k fatores Por exemplo, num fatorial 24 os tratamentos na ordem padrão são: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, cd, abd, acd, bcd, abcd

Delineamento Fatorial 2k geral

Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k Estimar os efeitos Formar o modelo inicial Faça os testes estatísticos Refinar o modelo Análise dos resíduos Interpretar os resultados Quando o número de fatores é alto, mostrar a tabela de sinais não é viável. Em geral, podemos determinar o contraste para AB…K expandindo

Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k Quando obtemos “1” substituir por “(1)” O sinal deve ser negativo se o fator é incluso no efeito e positivo se não. Exemplo: Fatorial 23

Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k Para um fatorial 25, o contraste ABCD é

Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k Cálculo dos efeitos e SS: