Inferências Relativas à Média 5 Inferências Relativas à Média Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.1)

estatística e estimadores uma estatística é qualquer função das observações de uma amostra aleatória convenção: é o parâmetro de interesse é uma estatística Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.2)

estatística e estimadores estimador não tendencioso: uma estatística é denominada de “estimador não tendencioso” se, e somente se, a média da distribuição amostral do estimador é igual a exemplo: é uma estimativa não tendenciosa de  Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.3)

estimativa pontual é uma estimativa de m. Mas quanto se aproxima de ? é uma VA praticamente normal padronizada se n é grande Logo, há uma probabilidade de 1 -  da inequação abaixo ser satisfeita: o que eqüivale a: f(x) za/2 a/2 -za/2 onde z/2 é um valor tal que a área da curva normal padronizada a sua direita é a/2 1 - a Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.4)

estimativas da média (com nível de confiança 1 - a) quando  é conhecido: quando  é desconhecido: Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.5)

intervalo de confiança da média quando  é conhecido: quando  é desconhecido: Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.6)

exemplo 1: Sabe-se que a vida em horas de lâmpadas incandescentes é uma variável aleatória normal com  = 50 h. Uma amostra de 10 lâmpadas foi ensaiada e a vida média obtida foi 1.556 h. Qual o intervalo dentro do qual, com nível de confiança 95%, espera-se encontrar a média da população? s é conhecido. Estima-se o intervalo de confiança da média por: a = 0,05 para P = 95% z0,025 = 1,960 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.7)

exemplo 2: Qual o tamanho necessário da amostra da questão anterior para, com a mesma probabilidade, reduzir o tamanho do intervalo de confiança de ±31 h para apenas ±10 h? s é conhecido. Estima-se o intervalo de confiança da média por: Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.8)

exemplo 3: A massa de um diamante foi medida repetidamente nove vezes por uma balança com erro sistemático desprezável. As indicações não se repetem pela ação de um erro aleatório com distribuição normal e média zero. Encontre o intervalo de confiança dentro do qual, com uma probabilidade de 95% deve encontrar-se o valor verdadeiro da massa do diamante. 20,4 20,1 20,4 20,6 20,2 20,4 20,3 20,5 20,3 s não é conhecido, mas pode se estimado por s: da tabela: t(a=0,025, u=8) = 2,306 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.9)

teste de hipóteses Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre uma população (e não sobre a amostra) Normalmente são formuladas duas hipóteses: H0: (hipótese nula) que é a hipótese que se quer testar H1: (hipótese alternativa) que será aceita se não for possível provar que H0 é verdadeira Exemplos: (a) H0: mulheres vivem mais que homens H1: mulheres vivem o mesmo ou menos que homens (b) H0: o réu é culpado H1: o réu é inocente Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.10)

teste de hipóteses (unilateral) Exemplo: seja: H0: m = 50 MPa e H1: m < 50 MPa Se Ho é aceita Pergunta: quanto deve ser menor que 50 MPa para H0 ser falsa? Não é possível rejeitar H0 rejeitar H0 e aceitar H1 50 -  50 Qual é o valor crítico de D? Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.11)

teste de hipóteses (bilateral) Exemplo: seja: H0: m = 50 MPa e H1: m  50 MPa Se Ho é aceita Pergunta: quanto deve se afastar de 50 MPa para H0 ser falsa? Não é possível rejeitar H0 rejeitar H0 e aceitar H1 50 -  50 +  50 Qual é o valor crítico de D? Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.12)

exemplo 1: Suponha que a resistência do material seja uma variável aleatória com distribuição normal com X = 2,5 MPa. No exemplo anterior  = 1,5 MPa seria uma boa escolha? Assim, a resistência de um corpo de prova seria determinada, testada e: Se estiver no intervalo entre (50,0 ± 1,5) MPa afirma-se que m = 50 MPa; Caso contrário, afirma-se que m  50 MPa. Este é um bom teste? 51,5 48,5 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.13)

Para responder esta questão, suponha que a resistência do material tenha mesmo média 50 MPa e X = 2,5 MPa: 0,452 50 a/2 = 0,274 a/2 = 0,274 48,5 51,5 z1 = -0,60 z2 = 0,60 A escolha de  = 1,5 MPa não é boa. Quando o material tiver resistência de 50 MPa apenas 45,2% dos ensaios darão a resposta certa. Cerca de 54,8% levarão à conclusão errada, o que é uma margem de erro muito alta! Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.14)

exemplo 2: Suponha que em lugar de ensaiar um corpo de prova, 10 corpos de prova sejam ensaiados e sua média calculada. Se as demais condições forem mantidas,  = 1,5 MPa seria uma boa escolha? Sintetizando o teste: Dez corpos de prova serão ensaiados e resistência média calculada e submetida ao seguinte critério: Se estiver no intervalo entre (50,0 ± 1,5) MPa afirma-se que m = 50 MPa; Caso contrário, afirma-se que m  50 MPa. E agora: este é um bom teste? Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.15)

A média de 10 corpos de prova terá desvio padrão de: Para responder esta questão, suponha que a resistência do material tenha mesmo média 50 MPa e X = 2,5 MPa. A média de 10 corpos de prova terá desvio padrão de: 50 a/2 = 0,942 a/2 = 0,0288 a/2 = 0,0288 48,5 51,5 z1 = -1,90 z2 = 1,90 Neste caso, a escolha de  = 1,5 MPa resulta em uma margem de acerto de 94,2% e uma margem de erro de apenas 5,76%, o que é aceitável. Portanto, para estas condições,  = 1,5 MPa é uma boa escolha! Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.16)

erros de decisão decisão H0 é verdadeira H0 é falsa não rejeita H0 Erro tipo I: rejeitar H0 quando esta é verdadeira Erro tipo II: não rejeitar H0 quando esta é falsa decisão H0 é verdadeira H0 é falsa não rejeita H0 rejeita H0 decisão correta erro tipo II erro tipo I decisão correta A probabilidade de cometer erro tipo I é denominada “nível de significância” e é denotada por a A probabilidade de cometer erro tipo II é denotada por b Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.17)

nível de significância (a) No exemplo anterior, sendo a distribuição normal, X = 2,5 MPa, n = 10, e  = 1,5 MPa. Quanto vale a? 50 48,5 51,5 a/2 = 0,0288 z1 = -1,90 z2 = 1,90 a = P(Z<-1,90) + P(Z>1,90) = 0,0288 + 0,0288 = 0,0576 5,76% das amostras aleatórias vão rejeitar H0 quando a resistência do material for mesmo 50 MPa. Para diminuir a: (a) aumentar D ou (b) aumentar n Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.18)

erro tipo II b pode ser calculado para um dado valor específico. Exemplo, seja m = 52. Quanto vale b? 50 48,5 51,5 b = 0,2643 52 26,43% das amostras aleatórias vão aceitar H0 quando a resistência do material for 52 MPa Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.19)

erro tipo I versus erro tipo II a e b para várias combinações de n e D Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.20)

teste de hipóteses: conclusões 1. O tamanho da região crítica (aceitação) e a podem sempre ser reduzidas pela escolha apropriada dos valores críticos 2. Os erros tipo I e II estão sempre relacionados. Para o mesmo “n” o aumento da probabilidade de um reduz a do outro 3. Para os mesmos valores críticos, o aumento de “n” reduz as probabilidades dos erros I e II 4. Quando H0 é falsa, b aumenta quando o valor verdadeiro do parâmetro se aproxima do valor especificado em H0 e vice-e-versa Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.21)

teste de hipóteses: procedimento geral 1. Identifique o parâmetro de interesse no problema 2. Formule a hipótese nula (H0) 3. Formule uma hipótese alternativa apropriada (H1) 4. Defina o nível de significância 5. Estabeleça a estatística usada 6. Estabeleça a região de rejeição da estatística 7. Execute o experimento, obtenha os dados e faça as contas 8. Decida se H0 deve ou não ser rejeitada e transponha esta conclusão para o contexto do problema Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.22)

hipóteses relativas a uma média H0: m = m0 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.23)

exemplo 3: Verificar se a condutividade térmica de um certo tipo de tijolo é 0,340 com nível de significância 0,05 a partir de uma amostra com n = 35 que resultou no valor médio 0,343. Sabe-se que s = 0,010. Solução: P1 - parâmetro de interesse: condutividade térmica do tijolo P2 - H0: m = 0,340 P3 - H1: m  0,340 P4 - nível de significância: 0,05 P5 - s é conhecido, usar a estatística Z < -z 0.025 ou Z > z 0.025 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.24)

P6 - H0 será rejeitada se o valor de Z, calculado a partir da média dos 35 ensaios, obedecer uma das seguintes condições: Z < -1.960 ou Z > 1,960 P7 - Fazendo as contas: P8 - Como -1,960 < 1,77 < 1,960, H0 não pode ser rejeitada, isto é, a pequena diferença entre 0,340 e 0,343 pode decorrer do acaso. Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.25)

exemplo 4: Um certo tipo de barbante deve apresentar resistência média à ruptura de 180 N. Se cinco pedaços, selecionados aleatoriamente de alguns rolos apresentaram média 169,5 N com s = 5,7 N. Teste a H0 m = 180 N contra H1 m < 180 N com a = 0,01. Assuma que a população é normal. Solução: P1 - parâmetro de interesse: resistência do barbante P2 - H0: m = 180 N P3 - H1: m < 180 N P4 - nível de significância: 0,01 P5 - s não é conhecido, usar a estatística T < -t 0.01 para u = 4 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.26)

P6 - H0 será rejeitada se o valor de T, calculado a partir da média dos cinco ensaios, obedecer a seguinte condição: T < -3,747 P7 - Fazendo as contas: P8 - Como o valor obtido é menor que o crítico, rejeita-se H0 e aceita-se a hipótese de que a resistência média do barbante é mesmo menor que 180 N. Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.27)

hipóteses relativas a duas médias H0: m1 - m2 = d Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.28)

exemplo 5: Verifique se a diferença entre a resistência elétrica entre dois condutores é maior que 0,050  com nível de significância a = 0,05. Uma amostra com n = 32 foi extraída de cada condutor resultando em: X1 = 0,136  e s1 = 0,004  e X2 = 0,083  e s2 = 0,005 . Solução: P1 - parâmetro de interesse: diferença de resistência P2 - H0: m1 - m2 = 0,050  P3 - H1: m1 - m2 > 0,050  P4 - nível de significância: 0,05 P5 - s não é conhecido, mas n > 30 é possível usar a estatística Z > z 0.05 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.29)

P6 - H0 será rejeitada se o valor de Z, calculado a partir da diferença das médias dos 32 ensaios, obedecer a condição: Z > 1,645 P7 - Fazendo as contas: P8 - Como 2,65 > 1,645 rejeita-se a H0 e afirma-se que a resistência do primeiro condutor é maior que a do segundo em pelo menos 0,050 . Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.30)