Resultantes de Sistemas de Forças Cap. 4 MECÂNICA - ESTÁTICA Resultantes de Sistemas de Forças Cap. 4

Definir o momento de um binário. Objetivos Discutir o conceito de momento de uma força e mostrar como calcular este momento em duas e três dimensões. Fornecer um método para encontrar o momento de uma força em torno de um eixo específico. Definir o momento de um binário. Apresentar métodos para determinar resultantes de sistemas de forças não concorrentes. Indicar como reduzir um sistema de cargas distribuidas em uma força resultante numa posição específica.

4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar O momento de uma força em relação a um ponto ou um eixo fornece a medida da tendência da força em girar o corpo em torno do ponto ou eixo. z  ao plano x-y no qual Fx atua Fx causa uma tendência de giro do tubo ao longo do eixo z Fx causa um momento no eixo z (MO)z

4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar O momento de uma força em relação a um ponto ou um eixo fornece a medida da tendência da força em girar o corpo em torno do ponto ou eixo. x  ao plano z-y no qual Fz atua Fz causa uma tendência de giro do tubo ao longo do eixo x Fz causa um momento no eixo x (MO)x

4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar O momento de uma força em relação a um ponto ou um eixo fornece a medida da tendência da força em girar o corpo em torno do ponto ou eixo. Fy pelo ponto O  Fy não causa tendência de giro no tubo porque a sua linha de ação passa pelo ponto O.

4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar Módulo do Momento: Mo = F d Onde d é o braço de momento ou, distância perpendicular do eixo no ponto O a linha de ação da força Direção e Sentido do Momento: Determinados pela regra da mão direita.

4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar Momento Resultante de um Sistema de Forças Coplanares: Se um sistema de forças atua no plano x-y, então o momento produzido por cada força em torno do ponto O será direcionado ao longo do eixo z.  O momento resultante MRo do sistema é a soma algebrica dos momentos individuais de todas as forças. Q+ MRo = Fd

4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar Fatores que afetam o momento: A direção da força O comprimento do braço de momento

4.1 Momento de uma Força – Formulação Escalar Direção de F: Se <90° d é menor Se =90° d é máximo Comprimento de d: Aplique a força no fim da barra para maximizar d

Problema 4.5 Determine o módulo, direção e sentido do momento da força aplicada em A em torno do ponto P.

Problema 4.5 - Solução

Problema 4.13 Determine o momento em torno do ponto A para cada uma das três forças atuando na viga.

Problema 4.13 - Solução

Problema 4.13 - Solução

Problema 4.13 - Solução

O produto vetorial de dois vetores resulta num vetor: C = A x B Módulo: C = A B sin  Direção: O vetor C tem uma direção  ao plano contendo A e B. O sentido de C é determinado pela regra da mão direita.

4.2 Produto Vetorial C = A x B = (ABsin) uC

Propriedades da Operação: A Lei comutativa não é valida: A x B  B x A 4.2 Produto Vetorial Propriedades da Operação: A Lei comutativa não é valida: A x B  B x A No entanto: A x B = -(B x A)

Propriedades da Operação: Multiplicação por um escalar: 4.2 Produto Vetorial Propriedades da Operação: Multiplicação por um escalar: a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a Lei Distributiva: A x (B + D) = (A x B) + (A x D)

Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin ) uC 4.2 Produto Vetorial Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin ) uC O módulo é determinado usando a formula C = A B sin  i x j =(1)(1)(sin90°) = (1)(1)(1)=1 O sentido e direção é determinado usando a regra da mão direita. Para esse caso, mostrado pela figura, o resultado é o versor k  i x j = (1) k = k

Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin) uC 4.2 Produto Vetorial Formulação através de Vetores Cartesianos: C = A x B = (A B sin) uC i x j = k i x k = -j i x i = 0 j x k = i j x i = -k j x j = 0 k x i = j k x j = -i k x k = 0

4.2 Produto Vetorial

 A x B = (Axi + Ayj +Azk) x (Bxi + Byj + Bzk) 4.2 Produto Vetorial A = Axi + Ayj +Azk B = Bxi + Byj + Bzk  A x B = (Axi + Ayj +Azk) x (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + AxBz (i x k) + AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) + AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k) = 0 + AxBy k – AxBz j - AyBx k + 0 + AyBz i + AzBx j – AzBy i + 0

A x B = (AyBz – AzBy ) i + (AxBy – AyBx) k 4.2 Produto Vetorial A x B = (AyBz – AzBy ) i - (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k Esta equação tambem pode ser escrita na forma compacta de um determinante:

(-j)(AxBz - AzBx) (k)(AxBy - AyBx) Para elemento i: (i)(AyBz - AzBy ) 4.2 Produto Vetorial Para elemento i: (i)(AyBz - AzBy ) Para elemento j: (-j)(AxBz - AzBx) Para elemento k: (k)(AxBy - AyBx)