Guilherme Mota Barros Macedo Curvas Fractais Guilherme Mota Barros Macedo

Curvas Fractais Curvas fractais são objetos geométricos cuja estrutura base se repete em diferentes instâncias. São comunmente usadas para preencher espaços cada vez menores no interior de um espaço. Dentre as diversas curvas de preenchimentos podemos destacar as seguintes: Curva de hilbert. Curva de moore. Curva de Koch. Curva de peano. Curva de dragão. Curva de sierpinski. Curva de gosper.

Curva de hilbert e curva de moore Essas duas curvas são bem semelhantes. A curva de moore é considerada uma variante da curva de hilbert (criada por David Hilbert) onde ela é girada para que seus pontos finais coincidam a forma de construi-las é girando -90º e redefinindo as coordenadas de distância por 3 e unindo seus espaços intermediários. As duas curvas podem ser definidas como a união específicas dos centros de um quadrado subdividido em quatro que depois são sucessivamente divididos por quatro novamente e unidos os pontos cada um a sua maneira como mostrado nas imagens a seguir. Processo de construção da Curva de Moore . E, R constantes T, +, − Axiomas: DTD+T+DTD E → +DT-ETE-TD+ D → -ET+DTD+TE- T significa traçar uma reta + significa virar 90º para a esquerda - significa virar 90º para a direita E significa Esquerda D significa Direita http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hilbert_curve.gif

Curva de hilbert e curva de moore Processo de construção da Curva de Moore . E, R constantes T, +, − Axiomas: ETE+T+ETE E → −DT+ETE+TD− D → +ET−DTD−TE+ T significa traçar uma reta + significa virar 90º para a esquerda - significa virar 90º para a direita E significa Esquerda D significa Direita Curva de Moore

Curva de Koch A forma mais comum de ser apresentada da curva de koch(criada por von koch) é o floco de neve ela não é propriamente uma curva de preenchimento apenas uma forma fractal. Seu processo de criação é a partir do terço da distância criando elevações a partir de 60º, -60º, 60º. alfabeto: F constantes: +,- axioma:T++T++T regras de produção: T → T-T++T-T - significa virar 60º para a direita + significa virar 60º para a esquerda T significa traçar a reta http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Von_Koch_curve.gif

Curva de dragão Twindragon Por seu designe arrojado ela muitas vezes é usada para fins artísticos e até tatuagens A sua construção é feita de uma iteração que se duplica a cada nível. A cada iteração a curva se assemelha ao semblante de um dragão, pode-se observar a apresentação de um comportamento dinâmico dos padrões da curva, onde nota-se mais intensamente as características de um objeto fractal, sendo classificado segundo sua função de iteração possuindo uma regra fixa para sua construção geométrica. O fractal de dragão é o limite das iterações ao infinito. Ela é formada sempre por uma alteração interna e outra externa. Primeiramente foi estudada por John Heighway, Bruce Banks e William Harter(físicos da NASA). Pode ser criada pela formula: variaveis : X Y constantes : F + − inicio : FX regras : (X → X+YF), (Y → FX-Y) angulo : 90° Curva de dragão https://en.wikipedia.org/wiki/File:DragonCurve_animation.gif Twindragon Posicionando dois dragões uma face contra a outra formamos os dragões gêmeos O Twindragon pode ser escrito adicionando mais um segmento a curva de dragão angulo 90° inicio FX+FX+ Regras para reescrever X ↦ X+YF Y ↦ FX−Y.

Curva de Sierpiński  A curva de Sierpiński  é uma das de forma mais variada. Temos desde a sua forma de curva até formas geométricas como o triângulo de Sierpiński . Sua forma de construção dada pelo sistema de Lindenmayer  É :variáveis : A B constantes : + − começo : A regras : (A → B−A−B), (B → A+B+A) angulo : 60° Ou variáveis : F G inicio : F−G−G regras : (F → F−G+F+G−F), (G → GG) angulo : 120°

Curva de peano  Giuseppe Peano (1858–1932) foi o primeiro a descobrir e publicar uma curva de preenchimento e muitas vezes as curvas de preenchimento são chamadas peano curves. A curva de Peano pode ser escrita no L-system como variaveis : D E Traçar: T constantes : + − inicio : +DTT -T -TT+T+TT angulo : 90°

Curva de Gosper Essa curva fractal foi criada por Bill Gosper e também é conhecida por flowsnake ou caminho da serpente e sua construção é semelhante a da curva de dragão e sua forma é semelhante a snowflake (koch).

http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle http://www.wolframalpha.com/input/?i=dragon+curve http://www.wolframalpha.com/input/?i=peano+curve http://www.wolframalpha.com/input/?i=sierpinski+curve http://mathworld.wolfram.com/PeanoCurve.html http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve http://en.wikipedia.org/wiki/L-system#Example_5:_Sierpinski_triangle http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_curve https://en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve

Outras curvas Curva de Cesaro: uma curva simples que pode ser feita na forma de um origami para formar um triângulo.