Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20: Autovalores e Autovetores

Recapitulando: matriz de uma transformação linear Sejam T: V→W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Sem perda de generalidade consideremos dim V=2 e dim W=3. Sejam A={v1,v2} e B={w1,w2,w3} Escrevemos os vetores T(v1) e T(v2) como combinação linear do vetores de B Tomamos os escalares de T(vi) na base B e os colocamos como a coluna i da matriz [v]A [T(v)]B [T(v1)]B [T(v2)]B Matriz de T em relação as bases A e B

Matriz de uma transformação linear

Matriz de Mudança de Base Se considerarmos I: V→V a transformação linear identidade, I(v)=v. Ao escrevermos a matriz desta transformação em relação às bases A e B (A uma base de V e B outra base de V). Obteremos [I(v)]B= [v]A Ou ainda: [v]B = [v]A Matriz de mudança de base de A para base B O papel desta matriz é transformar as coordenadas de um vetor v na base A em coordenadas do mesmo vetor v na base B.

Autovetores e Autovalores Seja T:V→V um operador linear. Um vetor v ϵ V, v≠0, é autovetor do operador T se existe λ ϵ IR tal que T(v)= λv. Seja M a matriz desta transformação em relação à base canônica então (6) pode ser rescrito como Mv=λv λv-Mv=0 ou ainda λIv-Mv=0 (λI-M)v=0. Determinar se operador T possui um autovetor v≠0 equivale a determinar para quais valores de λ o sistema homogêneo (7) tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de M. Se λ é um autovalor de M então cada solução não trivial de (7) será o autovetor de M associado ao autovalor λ, ou seja será autovetor do operador T. (6) (7)

Autovetores e Autovalores De acordo com o que já estudamos M é invertível ↔ Mv=0 tem somente solução trivial logo (λI-M)v=0 tem solução não trivial ↔ (λI-M) não é invertível, ou seja, det(λI-M)=0 Exemplo: (b) Seja M=[T], encontre os autovalores de M e dê exemplo de autovetores associados a cada autovalor

Autovetores e Autovalores Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes: A é invertível. Ax=0 só tem a solução trivial. A forma escalonada reduzida por linhas de A é In. A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1. Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1. det(A)≠0. A tem posto n. As linhas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn. As colunas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn. Zero não é um autovalor de A.