MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Ementa Derivadas Aplicações das Derivadas Integração Livro Texto: Murolo,A. & Bonetto,G.: Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. Thomson, São Paulo, 2004. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Derivadas O conceito foi introduzido em meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de problemas de Física. Destacam-se Isaac Newton, Leibniz e Lagrange. Mais tarde essas idéias foram introduzidas em outras áreas como Economia e Administração. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Derivadas Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos de seu domínio Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens f(x1) ● Δy f(x0) ● Δx x0 x1 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Derivadas Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de x0 até x1, ao quociente MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exemplo1 Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é: Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezes maior, pois Δf=8, enquanto Δx=2. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exemplo 1 ● 9 ● 1 1 3 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exemplo 2 Seja f(x)=x2 e calculemos a taxa média de variação a partir de um ponto genérico de abscissa x0=x e um acréscimo também genérico Δx. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exemplo 2 Assim, se quisermos a taxa média de variação a partir do ponto x=5 e com uma variação Δx=3, o resultado será 2.5+3=13. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exemplo 3 Suponhamos que um objeto seja abandonado a 2.000 m de altura e que a função f(t)=2.000-10t2 altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos: f(0)=2.000 e f(5)=1.750 Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m. Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exemplo 3 Para uma mesma variação de t (5 segundos), a variação de altura é diferente. A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado. 1º intervalo: Velocidade média: 2º intervalo: Velocidade média: MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Velocidade Instantânea Muitas vezes estamos interessados na velocidade de um objeto num determinado instante (velocidade instantânea) No exemplo considerado, calculemos a velocidade instantânea para t=5 segundos. Para isso consideremos a velocidade média (taxa média de variação) para amplitudes de variação de tempo cada vez menores. Consideraremos o intervalo [5; 5+Δt]: MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Velocidade Instantânea MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Velocidade Instantânea Calculemos a velocidade média para valores de Δt cada vez menores: Intervalo Δt Δf/Δt [5;10] 5 -150 [5;8] 3 -130 [5;6] 1 -110 [5;5,5] 0,5 -105 [5;5,1] 0,1 -101 [5;5,01] 0,01 -100,1 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Velocidade Instantânea Notamos que a velocidade média está se aproximando de -100 m/s. A velocidade instantânea é o limite para o qual tende a velocidade média quando o intervalo de tempo tende a 0. Isto é, a velocidade instantânea no ponto t=5 e dada por: Esse limite da taxa média de variação quando Δt tende a zero é chamado de derivada da função f(t) no ponto t=5. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Conceito de Derivada Derivada de uma Função num Ponto Seja f(x) uma função e x0 se existir e for finito, limite dado por: Ex.: Qual a derivada de f(x)=x2 no ponto x0=3? MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Conceito de Derivada Isso significa que um pequeno acréscimo Δx dado a x, a partir de x0=3, acarretará um correspondente acréscimo Δf que é aproximadamente 6 vezes maior que o acréscimo Δx. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Função Derivada É a derivada calculada num ponto genérico x. Exemplo: Qual a função derivada de f(x)=x2? Temos, MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Função Derivada Assim, se quisermos a derivada no ponto x0=5, calculamos f´(5)=2.5=10. Obs.: para Δx pequeno. Para x=5 e Δx= 0,1 temos: Δf = f(5,1) - f(5) = (5,1)2 - 52 = 1,01 Portanto MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exercícios Para cada função f(x), determine a derivada f´(x0) no ponto x0 indicado: a) f(x)=x2, x0=4. b) f(x)= 2x+3, x0=3. c) f(x)=-3x, x0=1. d) f(x)= x2-3x, x0=2. e) f(x)= 1/x, x0=2. f) f(x)= x2 – 3x + 4, x0=6. Determine a função derivada para cada função do exercício anterior. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Derivada das Principais Funções Elementares Derivada da Função Constante Se f(x)=c (função constante), então f´(x)=0, para todo x. Ex.: Se f(x)=5 então f´(x)=0. Derivada da Função Potência Se f(x)=xn, então f´(x)= nxn-1. Exs.: MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Derivada das Principais Funções Elementares Derivada da Função Logarítmica Se f(x)=ln x, então f´(x)=1/x , x>0. Derivada das funções seno e cosseno Se f(x)=sen x, então f´(x)= cos x para todo x real. Se f(x)= cos x, então f´(x)= -sen x para todo x real. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Propriedades Operatórias Se f(x)=k.g(x) então f´(x)=k.g´(x). Se f(x)=u(x)+v(x) então f´(x)=u´(x)+v´(x). Se f(x)=u(x)-v(x) então f´(x)=u´(x)-v´(x). Se f(x)=u(x).v(x) então f´(x)=u´(x).v(x)+u(x).v´(x) Se f(x)=u(x)/v(x) então MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exercícios MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Função Composta – Regra da Cadeia Considere a função y = f(u)=u3 e u=g(x)=x-5. Temos que a função composta (f ◦ g)(x) é dada por: y(x)=f(g(x))=(x2 - 5)3 Questão: É possível calcular a derivada da composta (f ◦ g)´(x) usando apenas as derivadas de f e g separadamente (sem o calculo prévio da composta}? Regra da Cadeia: Se y é uma função de u e existe f´(u), e se u é uma função de x e existe g´(x), então y é uma função de x e existe y´(x), sendo dada por y´(x)=f´(u).u´= f´(g(x)).g´(x) MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Função Composta – Regra da Cadeia No exemplo dado, temos: y´(x)=3u2.u´=3(x2-5)2.2x=6x(x2-5)2. Qual a derivada de f(x)=ln(3x+6)? Fazendo u=3x+6, temos f(u)=ln u . Assim: MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

Derivada da Função Exponencial Se f(x)=ax, então f´(x)=ax.ln a, para todo x real (com a>0 e a≠1). Demonstração: Consideremos a função: Pela regra da cadeia: Por outro lado: Portanto: MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exemplos f(x)=3x então f´(x)=3x ln x; f(x)=ex então f´(x)=ex ln e = ex. MATEMÁTICA II - Prof. Edézio

MATEMÁTICA II - Prof. Edézio Exercícios Obtenha a derivada das seguintes funções: MATEMÁTICA II - Prof. Edézio