3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR Definição 1 - Matriz complementar de um elemento aij de A, é a matriz indicada por Aij, obtida quando se elimina a linha i e a coluna j da matriz A. Definição 2 - Co-fator ou complemento algébrico do elemento aij, que se indica por aij, calculado por: aij = (-1)i+j.det(Aij) Seja, por exemplo, a matriz A, tal que: A = 3 4 7 5 0 8 1 2 9 a11 = (-1)1+1.det 0 8 2 9 = 1.(0 – 2.8) = -16 a32 = (-1)3+2.det 3 7 5 8 = (-1).(3.8 – 5.7) = 11 EXERCÍCIO 1 – Calcule a13.a13 + a23.a23 + a33.a33 2 – Calcule a21.a21 + a22.a22 + a23.a23 3 – Calcule det(A).
Que conclusões podem ser tiradas? 4 – Calcule a13.a12 + a23.a22 + a33.a32 5 – Calcule a21.a32 + a22.a32 + a23.a33 OBSERVE: No exercício 1 você usou a 3ª coluna da matriz A, obtendo então a soma dos produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementos algébricos. No exercício 2 você usou a 2ª linha da matriz A, obtendo então a soma dos produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementos algébricos. Qual foi o resultado comparando com o do exercício 3? Nos exercícios 4 e 5, multiplicou-se uma fila pelos complementos algébricos de uma fila paralela. Qual foi o resultado? Que conclusões podem ser tiradas?
O determinante de uma matriz é igual à soma dos CONCLUSÃO 1 – TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz é igual à soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos respectivos complementos algébricos. CONCLUSÃO 2 A soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos complementos algébricos de uma fila paralela, na mesma ordem, é igual a zero.
Exercícios 1 - Usando as propriedades calcule os determinantes das matrizes: 2 - Aplicando as propriedades, calcule os determinantes das matrizes:
3 - Crie duas matrizes quadradas de ordem 2x2 e verifique se as igualdades a seguir são falsas ou verdadeiras. a) det(A + B) = det(A) + det(B) b) det(AB) = det(BA) c) det(AB) = det(A).det(B) c) det(A) = det(AT) 4 - Mostre que o determinante de uma matriz A = [aij] é igual a a11a22a33...ann se aij = 0 quando i > j. 5 – Calcule o determinante da matriz 6 - Qual é o valor do determinante da matriz identidade?