debmatematica@gmail.com (41) 3340 1714 Abimael Fernando Moreira Carmelígia Marchini Lucimar Donizete Gusmão Maria Neide Freiria Equipe de Matemática DEB/SEED/PR debmatematica@gmail.com (41) 3340 1714

O que é... Resolução de problemas? Resolver um problema? A leitura pode contribuir para a aprendizagem em Matemática?

Resolução de Problemas: a arte da descoberta

Resolução de Problemas Histórico: Resolver problemas é natural do ser humano desde os primórdios de nossa história. Os problemas serviram de motor para impulsionar o desenvolvimento e a evolução da humanidade nos mais diversos campos.

Resolução de Problemas Até meados do século XX, a Resolução de Problemas consistia basicamente em resolver problemas de ordem prática, mas não como metodologia de ensino. (STANIC& KILPRATRICK, 1989, apud HUAMÁN HUANCA, 2006)

Resolução de Problemas O “Ensinar Matemática” por meio da Resolução de Problemas percorreu um longo caminho no século XX, tomando proporções mais significativas, especialmente nos últimos 40 anos. (ONUCHIC & ALLEVATO, 2004 apud HUAMÁN HUANCA, 2006)

Resolução de Problemas 1960 e 1970, os pesquisadores passaram a questionar o ensino, o efeito de estratégias para ensinar matemática. Assim, Resolução de Problemas foi ganhando mais espaço, principalmente em muitas pesquisas, especialmente, em Educação Matemática. Ela passa, então, a ser vista como uma metodologia de ensino, como um ponto de partida e um meio de se ensinar matemática.

Resolução de Problemas No documento “Uma Agenda para a Ação”, do NCTM - National Council of Teachers of Mathematics, em 1980, diz que Resolução de Problemas deveria ser o foco da matemática escolar nos anos 80. No início da década de 90, a UNESCO, através da sua declaração mundial sobre Educação para todos, também declara claramente que a Resolução de Problemas deve ser um instrumento essencial da aprendizagem, do mesmo modo que a leitura, a escrita e o cálculo. (Huamán, 2006, p. 20)

Resolução de Problemas No Brasil, apoiados em ideias contidas no NCTM, foram criados os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs. Apontam o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, explorá-los, generalizá-los como um dos propósitos do ensino de Matemática. Indicam a Resolução de Problemas como ponto de partida das atividades matemáticas e discutem caminhos para se fazer matemática na sala de aula.

Resolução de Problemas Aprender Matemática é muito mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x na resposta correta; é interpretar, criar significados, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível. Os problemas NÃO são conteúdos e sim uma forma de trabalhar os conteúdos. Os conceitos básicos deverão ser desenvolvidos a partir de problemas e estes problemas podem ser utilizados também como um desafio à reflexão dos alunos. Currículo Básico para Escola Pública Estado do Paraná

Resolução de Problemas Os conteúdos matemáticos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas do campo da Educação Matemática: Resolução de Problemas; Modelagem Matemática; Mídias Tecnológicas; Etnomatemática; História da Matemática; Investigação Matemática. DCE de Matemática do Estado do Paraná

Avaliação Externa

INTERNA x EXTERNA Avaliação interna: realizada pelo professor, voltada para o desenvolvimento dos processos de ensino e aprendizagem. Instrumento: trabalhos em grupo ou individuais, testes ou provas, com questões de múltipla escolha ou questões abertas, dramatizações, observação, relatórios. Avaliação externa: avalia o desempenho de um conjunto de estudantes agrupados por escola ou por sistemas. Instrumento: testes compostos por itens de múltipla escolha por meio dos quais apenas uma habilidade é avaliada.

O SAEB é composto pelos processos: SAEB/PROVA BRASIL O SAEB é composto pelos processos: ANEB/SAEB: Avaliação Nacional da Educação Básica. Subsidia o cálculo do IDEB dos estados e do IDEB nacional. ANRESC/Prova Brasil: Avaliação Nacional do Rendimento Escolar. Subsidia o cálculo do IDEB de municípios e de escolas da rede pública.

A Prova Brasil e o SAEB constituem a base para a definição do:

IDEB: Padrões e Critérios que combinam Resultados das Avaliações de Aprendizagem Taxa de Aprovação PROVA BRASIL (5º e 9º anos dos municípios e das escolas da rede pública)‏ e SAEB (5º e 9º anos do EF e 3º ano do EM das Unidades da Federação e do Brasil)‏ Rendimento Escolar

A metodologia adotada na construção e aplicação dos testes da SAEB/Prova Brasil é adequada para avaliar redes ou sistemas de ensino, e não alunos individualmente.

Sistema de Avaliação da Educação Básica do Paraná É uma avaliação estadual que tem como objetivo disponibilizar informações relevantes quanto ao desenvolvimento cognitivo dos estudantes, descrevendo as habilidades desenvolvidas em Língua Portuguesa e Matemática, além de se deter nos fatores associados a esse desempenho, com resultados e análises produzidos desde o nível do aluno até o do estado. NRE

A Matriz Curricular é um documento prescritivo, que direciona o ensino, insere-se no Projeto Pedagógico da instituição e é construído coletivamente pela comunidade escolar, com base em orientações curriculares da área indicadas por órgãos oficiais e na realidade escolar.

Matriz Curricular é constituída por várias dimensões que direcionam o trabalho em sala de aula:

MATRIZ DE REFERÊNCIA

Matriz de Referência

Matriz de Referência de Avaliação é um documento descritivo, escrito por técnicos, e que leva em consideração documentos curriculares oficiais. A Matriz de Referência de Matemática para o SAEB/Prova Brasil/SAEP, apresenta um conjunto de conhecimentos que se deseja ver desenvolvidas em estudantes no fim de cada etapa escolar, destaca a dimensão conceitual (noções e conceitos matemáticos).

IMPORTANTE! As matrizes de referência representam um recorte das matrizes curriculares feito com base no que pode ser aferido por meio dos instrumentos utilizados na SAEB/Prova Brasil/SAEP. Elas não englobam todo o currículo escolar e não podem ser confundidas com procedimentos, estratégias de ensino ou orientações metodológicas, pois um recorte é feito com base naquilo que pode ser aferido.

Matriz Curricular e Matriz de Referência de Avaliação

Matrizes Curriculares destacam, no processo de ensino e aprendizagem de matemática, a Resolução de Problemas como eixo norteador. Os descritores da Matriz de Referência de Avaliação também apontam que as questões presentes na avaliação do SAEB/Prova Brasil/SAEP tenham como foco a Resolução de Problemas.

SAEB/PROVA BRASIL/SAEP As matrizes de Referencia de Avaliação de Matemática estão estruturadas por anos e séries avaliadas. Para cada um deles são definidos os descritores que indicam um determinado conhecimento que deve ter sido desenvolvido nessa fase de ensino. Esses descritores são agrupados por tema que relacionam um conjunto de objetivos educacionais.

ESTRUTURA DA MATRIZ DE REFERÊNCIA

SAEB/PROVA BRASIL/SAEP As Matrizes de Referência estão subdivididas em tópicos ou temas e estes, em descritores. O descritor é o detalhamento de uma habilidade cognitiva (em termos de grau de complexidade), que está sempre associada a um conteúdo que o estudante deve dominar na etapa de ensino em análise. Esses descritores são expressos da forma mais detalhada possível, permitindo-se a mensuração por meio de aspectos que podem ser observados. Cada descritor dá origem a diferentes itens e, a partir das respostas dadas a eles, verifica-se quais habilidades os alunos efetivamente desenvolveram.

Há descritores que permitem a elaboração de itens por meio de situações-problema. Outros descritores focalizam conhecimentos de nível técnico (apenas conceitual) e dão origem a itens com textos curtos (calcule, efetue) bastante usuais em livros didáticos e no ensino de matemática, ainda hoje. Um fator que merece destaque é que esse tipo de item não apresenta contextualização, a não ser na própria Matemática, mas também fazem parte da avaliação porque é necessário que esses conhecimentos sejam isolados, a fim de que se possa distinguir onde está a dificuldade/facilidade pedagógica do aluno

Exemplo

EXEMPLO SAEB 9º ano EF – Tema: Números e operações/Álgebra e funções D18: Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação)

Quanto Maria vai gastar de renda? Exemplo: Maria vai contornar com renda uma toalha circular com 50 cm de raio, conforme a figura abaixo. Quanto Maria vai gastar de renda? A) 100 cm B) 300 cm C) 600 cm D) 2 500 cm E) 7 500 cm SAEB 3º ano EM – Tema: Grandezas e Medidas D11: Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas

Atividade Aproximações entre Matriz de Referência do SAEP e as Diretrizes Curriculares do Paraná/Caderno de Expectativas de Aprendizagem – Matemática

Discutindo ... Todas as expectativas são contempladas nos descritores? O descritor, em análise, está presente em quais séries? Há expectativas que não podem ser aferidas em uma avaliação de larga escala, como a Prova Brasil? 1 descritor está presente em várias séries e/ou conteúdos estruturantes diferentes. Evidente de que a matriz de referência é um recorte da matriz curricular. Certas Expectativas não podem ser aferidas (CE 10).

Padrão de desempenho SAEP Os Padrões de Desempenho são cortes importantes das Escalas de Proficiência e representam uma caracterização do desempenho dos estudantes com base no perfil das habilidades que eles demonstram nas avaliações. Referencial para a interpretação dos resultados do SAEP.

Padrão de desempenho 9º Ano do EF Abaixo do Básico: até 225 Adequado: 300-350 Avançado: Acima de 350

Padrão de desempenho 3º Ano do EM Abaixo do Básico: até 275 Adequado: 350-375 Avançado: Acima de 375

Percentual de acerto por descritor - Paraná: 9º e 3º Anos

9º Ano

3º Ano

Atividade Identifique os descritores com os menores índices. Analise, discuta e levante sugestões de atividades e de trabalho para melhorar a aprendizagem desses conteúdos.

ESCALA DE PROFICIÊNCIA MATEMÁTICA

Escala de Proficiência

Atividade Compreendo a Escala de Proficiência

Objetivo do ensino de grandezas e medidas: é propiciar ao aluno o desenvolvimento da competência: medir grandezas. Esta competência é desenvolvida nos anos iniciais do Ensino Fundamental quando, por exemplo, solicitamos aos alunos para medirem o comprimento e largura da sala de aula usando algum objeto como unidade. Esta é uma habilidade que deve ser amplamente discutida com os alunos, pois, em razão da diferença dos objetos escolhidos como unidade de medida, os resultados encontrados serão diferentes. E perguntas como: “Qual é medida correta?” É respondida da seguinte forma: “todos os resultados são igualmente corretos, pois eles expressam medidas realizadas com unidades diferentes.” além dessa habilidade, ainda nas séries iniciais do Ensino Fundamental, também é trabalhada a habilidade de medir a área e o perímetro de figuras planas, a partir das malhas quadriculadas ou não. Nos anos finais do Ensino Fundamental, os alunos resolvem problemas envolvendo o cálculo de perímetro e área de figuras planas e problemas envolvendo noções de volume (paralelepípedo). No Ensino Médio, os alunos resolvem problemas envolvendo o cálculo do volume de diferentes sólidos geométricos (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera) e problemas envolvendo a área total de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).

As competências

As competências

Escala de proficiência Proficiência: Escola Escala de proficiência

Proficiência ESCOLA

As competências

As competências

Item

Item

ENUNCIADOS Propõe a questão de modo que o aluno possa formular uma resposta sem ler as alternativas. Devem ter linguagem e abordagens adequadas para a faixa etária dos alunos e envolvem conhecimentos previstos para a série em questão e abordados nos Descritores. Os enunciados devem ser claros e curtos, envolvendo contextos integrados à situação matemática envolvida.

ALTERNATIVAS Elaboração das alternativas considerando que: haverá apenas uma resposta correta GABARITO; os distratores são as respostas incorretas, porém plausíveis. Obs.: EF: 4 alternativas (gabarito e três distratores); EM: 5 alternativas (gabarito e 4 distratores) 65

Os distratores dão informações para a análise dos níveis de proficiência, na medida em que se procuram focalizar erros comuns nessa etapa de escolarização. As respostas previstas nos distratores de um item devem ser capazes de dar informações acerca do raciocínio desenvolvido pelo estudante na busca da solução para a tarefa proposta. A análise das respostas dos estudantes permite identificar os erros mais comuns nos diversos níveis de proficiência.

Análise de Questões

SAEP 9º ano. O baú de um caminhão tem a forma de um paralelepípedo retângulo, conforme mostra a figura abaixo. Qual é a medida do volume do baú desse caminhão? 10 m³ (5 + 2 + 3) 15m³ (5 x 3) 16m³ [2 x (3 + 5)] 30m³ (3 x 5 x 2) 55,6% 9,7% 5,5% 26,6%

Análise D20: Resolver problema envolvendo noção de volume. Mais de 80% dos estudantes avaliados não souberam calcular corretamente o volume de um bloco retangular. Isso parece indicar que esses estudantes ainda não dominam as noções mais elementares sobre o cálculo de volumes e que, caso não corrijam isso o mais rápido possível, vão ter dificuldade em entender o cálculo dos volumes dos sólidos mais complexos que vão estudar adiante.

Atividade Analise os itens de Matemática do 9º ano EF e 3º ano EM - SAEP. Identifique qual conhecimento matemático está sendo avaliado nesse item. Qual tema/Conteúdo Estruturante? Identifique qual descritor. Qual a alternativa correta? Os distratores são plausíveis? Apresente o item para a turma, explicando o gabarito e os distratores.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMA

Exercício x Problema Exercício: serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades algorítmicas. Não há necessidade de decidir sobre o procedimento a ser utilizado para se chegar à solução. Servem para consolidar e automatizar certas técnicas, habilidades e procedimentos necessários para posterior solução de problemas.

Exercício x Problema Problema: é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução de problema-processo exige uma certa dose de iniciativa e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias. (POLYA, 2006)

O PROBLEMA... - O que é um problema? - O que é um problema matemático?

É qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la Problema: É qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la Problema Matemático: É qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la. (DANTE, 2005)

Resolução de Problemas Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de imitação e prática. (...) se você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’, tem que resolver problemas Polya

Resolução de Problemas Fazer com que os alunos possam pensar matematicamente, levantar ideias matemáticas, estabelecer relações entre elas, saber se comunicar ao falar e escrever sobre elas, desenvolver formas de raciocínio, estabelecer conexões entre temas matemáticos e de fora da matemática e desenvolver a capacidade de resolver problemas, explorá-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir deles. (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p. 218)

Objetivos – Resolução Problemas - Proporcionar condições para que o aluno pense matematicamente; - Desenvolver o raciocínio do aluno; - Ensinar o aluno a enfrentar situações novas - Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da matemática; -Tornar as aulas de matemática mais interessantes, dinâmicas e desafiadoras; - Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas.

Características de um problema - Ser desafiador; - Ser real; - Ser interessante; - Ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido; - Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas; - Ter um nível adequado de dificuldade;

Tipos de Problemas Exercícios de reconhecimento Reconheça, identifique ou lembre conceito, um fato, uma definição ou uma propriedade 1. Uma centena equivale a quantas dezenas? 2. Qual o nome do triângulo que possui dois lados com a mesma medida de comprimento?

Tipos de Problemas Exercícios de algoritmo Reforçar conhecimentos já aprendidos, pedem execução de algoritmos.

Tipos de Problemas Problemas Padrão Aplicação direta de um ou mais algoritmos já aprendidos; não exige estratégias; a solução encontra-se no enunciado. Não aguçam a curiosidade e nem desafiam Exemplo: Numa sala de aula há 19 meninos e 23 meninas. Quantos alunos há na sala?

Tipos de Problemas Problemas processo ou aberto A solução envolve operações que não estão no enunciado; não podem ser traduzidos diretamente pela linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos; desenvolve a curiosidade, a criatividade. Exemplo: Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”. Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram presentes na reunião?

Tipos de Problemas Problemas de aplicação Retratam situações reais; matematizam uma situação real. Em geral, exige pesquisa, levantamento de dados, investigação. Exemplo 1. Calcular a diagonal de um paralelepípedo retângulo do qual são conhecidos o comprimento, a largura e a altura. 2. Para elaborar um relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o gasto mensal, por aluno, que ele tem com a merenda escolar. Como fazer?

Tipos de Problemas Problemas de quebra-cabeça Desafio, recreativo. Exemplo: Formar um quadrado movendo-se apenas dois palitos

Como se resolve um problema? Etapas: - Compreender o problema; - Elaborar um plano; - Executar o plano; Fazer o retrospecto ou verificação (POLYA, 2006)

1ª Etapa: Compreender o problema - O que se procura no problema? - O que se quer resolver no problema? - O que o problema está perguntando? - Quais os dados e as condições do problema? - O que está dito no problema e que podemos usar?

2ª Etapa: Elaborar um plano - Qual é o seu plano para resolver o problema? - Que estratégia você tentará desenvolver? - Você já resolveu um problema como este antes? -Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este? - É possível resolver problemas por partes? - É possível traçar um ou vários caminhos em busca de soluções?

3ª Etapa: executar o plano Os planos traçados na etapa anterior são agora executados. Ênfase no processo e não somente na resposta. Obs.: Discutir a execução mais compreensível.

4ª Etapa: fazer a verificação Examine se a solução obtida está correta. Além de encontrar a resposta é interessante o aluno justificar o que e como se fez. Questionar.... Existe outra maneira de resolver o problema? - É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?

Vamos resolver um problema?

1. Uma escola ganhou, por doação, uma tela de 40 m de comprimento 1. Uma escola ganhou, por doação, uma tela de 40 m de comprimento. A direção da escola resolveu, então, cercar um terreno retangular que tivesse a maior área possível, para fazer experiências com plantas. Vamos ajudar a direção da escola a descobrir quais devem ser as dimensões do terreno?

Compreendendo o problema Vamos ler o problema. O que o problema está pedindo? Quais são os dados? O que é dimensão? O terreno tem quantas dimensões? É possível fazer um desenho representando um terreno retangular? Obs.: Peça que um aluno faça seu desenho na lousa

Estabelecendo um plano Alguém já resolveu um problema semelhante a este? Como foi resolvido? O que perímetro? O que é área? Que plano você tem para resolver esse problema? É possível fazer um desenho representando um terreno retangular?

Executando o Plano Os planos traçados na etapa anterior são agora executados. Ênfase no processo e não somente no cálculo. Obs.: Discutir a execução mais compreensível.

Alguém encontrou outra resposta? Exemplo Executando o Plano Somando os quatro lados dessa figura, temos? R. perímetro = 40 Qual é a área desse terreno representado por essa figura? R. 75 15 5 Mas será que essa área é a maior possível? Obs.: Peça que outro aluno faça seu desenho na lousa e discuta o perímetro e a área. Alguém encontrou outra resposta?

Executando o Plano Discussão: precisamos encontrar a maior área possível. Sugestão: colocar os dados em uma tabela. Após a elaboração da tabela concluir: A maior área será o retângulo com 10m de comprimento por 10m de largura. Obs.: é um retângulo muito particular chamado Quadrado.

Verificação Esta etapa é fundamental para completar o processo de resolução de problemas. Além de encontrar a resposta é interessante o aluno justificar o que e como se fez. Obs.: O professor poderá ainda explorá-lo ainda mais: Tente resolver esse mesmo problema com perímetros iguais a 20m, 30m ou 50m, para certificar-se um pouco mais da sua afirmação

Estratégias para resolução de problemas: 1) Tentativa e erro organizados; 2) Procurar padrões ou generalizações; 3) Resolver primeiro um problema mais simples; 4) Reduzir à unidade; 5) Fazer o caminho inverso

Como contornar fatores que dificultam um problema - Linguagem usada na redação do problema; - Tamanho e estrutura das frases; - Vocabulário matemático específico; - “Tamanho” e complexidade dos números; - Número de condições a serem satisfeitas e sua complexidade; - Número e complexidade de operações e estratégias envolvidas.

Lembretes - Começar com exercícios fáceis; - Evitar longas listas de problemas; - A resolução de problemas não deve se constituir em experiências repetitivas; - Deve-se focalizar, enfatizar e valorizar mais a análise do problema, os procedimentos que podem levar à sua solução e a revisão da solução obtida, do que simplesmente a resposta correta.

Roteiro de atividades 1) Preparação do problema: 2) Leitura individual 3) Leitura em conjunto 4) Resolução do problema 5) Observar e incentivar 6) Registro das resoluções 7) Plenária 8) Busca de consenso 9) Formalização do conteúdo

Em grupo, analise uma questão do SAEP. Atividade Em grupo, analise uma questão do SAEP. (seguir roteiro)

4) Qual a alternativa correta? 5) Os distratores são plausíveis? REFLEXÕES 1) O problema (item), envolve qual conteúdo (estruturante, básico e específico) matemático? 2) Pode ser caracterizado como problema ou exercício de fixação? Por quê? 3) Aponte questões, seguindo as etapas de Polya, que poderiam facilitar o entendimento do aluno e levá-lo a resolvê-lo. 4) Qual a alternativa correta? 5) Os distratores são plausíveis? 6) De qual descritor da matriz de referência do SAEP esse problema se aproxima? 7) Em qual(is) ano(s) é (são) desenvolvido(s) esse conteúdo?

ALGUNS CRITÉRIOS DE ELABORAÇÃO DE ITENS 106

Item

ELABORANDO ITENS Enfocar uma situação-problema evitando a muldimensionalidade. Propor problemas e alternativas que sejam factíveis e admissíveis. Considerar o cotidiano – itens significativos, interessantes e atrativos – utilizando situações autênticas (jornais, revistas, atlas, literatura pertinente).

Não elaborar itens que contenham “pegadinhas” (malicioso, enganoso, induzir ao erro) (Ex: abordagem de conteúdos triviais; detalhes irrelevantes; problema que oferece múltiplas possibilidades de resposta).

Levar em consideração o tempo de leitura exigido do aluno Levar em consideração o tempo de leitura exigido do aluno. No caso de textos associados a tabelas cuidado especial em relação a extensão, volume de informações e itens associados. Não usar alternativas do tipo “todas as anteriores” ou “nenhuma das anteriores”.

Atividade Agora é sua vez... Escolha um descritor de um tema (cada grupo fará de um tema) da Matriz de Referência de Avaliação de Matemática e elabore uma questão.

REFERÊNCIAS BRASIL, Ministério da Educação. PDE: Plano de desenvolvimento da Educação. Prova Brasil: ensino fundamental: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB, Inep, 2008. _________. Matemática: orientações para o professor, Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5ºano, ensino fundamental. Brasília: Inep, 2009. DANTE, Luiz R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 12 ed. São Paulo: Ática, 2005. Guia de Elaboração de itens. Matemática. Disponível em < http://www.portalavaliacao.caedufjf.net/wp-content/uploads/2012/02/Guia_De_-Elabora%C3%A7%C3%A3o_De_Itens_MT.pdf >. Acesso em 28 de abril 2013. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Curitiba: Seed/DEB-PR, 2008. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Caderno de Expectativa de Aprendizagem – Matemática. Curitiba: Seed/DEB-PR, 2012. POLYA, George. A arte de resolver problemas. Trad. Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

HUAMAN, R. R. H. A Resolução de Problemas no processo de Ensino- Aprendizagem Avaliação de Matemática na e além da sala de aula. 2006. 247 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2006. HUAMÁN HUANCA, Roger Ruben. Um Olhar para a sala de aula a partir da Resolução de Problemas e modelação matemática. Disponível em http://www.rc.unesp.br/serp/trabalhos_completos/completo9.pdf. Acesso em 13 de jun 2013 ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino- aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Org.) Educação Matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004. p. 212-231.