ENG309 – Fenômenos de Transporte III UFBA – Universidade Federal da Bahia ENG309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1. Considerações Fluidodinâmicas 8.1.1. Condições de Escoamento Figura 8.1: Desenvolvimento de Camada Limite fluidodinâmica laminar em um tubo circular.

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1. Considerações Fluidodinâmicas 8.1.1. Condições de Escoamento Experiência de Reynolds.

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1. Considerações Fluidodinâmicas 8.1.1. Condições de Escoamento Esquema do experimento.

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1. Considerações Fluidodinâmicas 8.1.1. Condições de Escoamento Padrões de Escoamento.

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.1. Condições de Escoamento Laminar Escoamento Externo Turbulento Região de Entrada Laminar Região Plenamente Desenvolvida Escoamento Interno Região de Entrada Turbulento Região Plenamente Desenvolvida

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.1. Condições de Escoamento ● Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular (8.1) Onde: - um é a velocidade média do fluido na seção transversal - D é o diâmetro do tubo ● Número de Reynolds Crítico (8.2)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.1. Condições de Escoamento ● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento laminar (Re ≤ 2300, entrada convergente arredondada) ● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento turbulento (Re > 2300) Para escoamento turbulento será admitido x/D>10

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.2. A Velocidade Média ● Escoamento Externo → Velocidade da corrente livre ● Escoamento Interno → Velocidade média Isolando um resulta: Número de Reynolds então fica: (8.6)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.2. A Velocidade Média Representando a vazão mássica pela integral de .u na seção transversal, tem-se: (8.7) Como então (8.8)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.2. A Velocidade Média r dr ro ro dr r

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento laminar de um fluido incompressível com propriedades físicas constantes, na região plenamente desenvolvida, as equações de continuidade e quantidade de movimento em coordenadas cilíndricas tem, respectivamente, as formas:

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Na região plenamente desenvolvida, as partículas de fluido movimentam-se paralela ao eixo x, assim: Fazendo v=0 na equação da continuidade, resulta: Ou seja, a componente axial u independe de x

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido A equação do momento em r, considerando v=0 e Fr=0 resulta: Ou seja, a pressão é independente de r ( )

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido A equação do momento em x, considerando: ou ou ainda: (8.12)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Integrando a 1ª vez resulta: Integrando a 2ª vez, resulta:

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Utilizando as condições de contorno e em resulta: (8.13)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.3. Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Substituindo (8.13) em (8.8) (8.14) resulta: Isolando dp/dx e substituindo em (8.13), resulta: (8.15)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido ● Para o engenheiro é importante o conhecimento da queda de pressão do escoamento em uma tubulação. ● A queda de pressão determina a potência da bomba ou do ventilador ● Para a determinação da queda de pressão é conveniente a utilização do fator de atrito, dado por: (8.16)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido ● Não se deve confundir fator de atrito f com coeficiente de atrito Cf (8.17) Como s = -  (du/dr)r = ro e com (8.13) a relação entre f e Cf fica: (8.18)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Substituindo e em resulta (8.19)

→ Diagrama de Moody CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido → Diagrama de Moody

8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido e superfície lisa (8.20a) (8.20b) Para uma ampla faixa de ReD (por Petukhov) (8.21)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.1.4. Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Com a determinação do fator de atrito, a queda de pressão pode ser determinada como segue: (8.22a) Com a determinação da queda de pressão a potência requerida pela bomba pode ser determinada como segue: (8.22b) Onde é a vazão volumétrica

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas ● Comprimento de entrada térmica para escoamento laminar (8.23) em comparação ao comprimento de entrada fluidodinâmica ● Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas 8.2.1. A Temperatura Média Escoamento Externo Escoamento Interno Velocidade na corrente livre  Velocidade Média Temperatura na corrente livre  Temperatura Média Equação 1.11e ● As temperaturas nas seções transversais não são uniformes para a convecção em escoamento interno ● É necessária a definição de uma temperatura média

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas 8.2.1. A Temperatura Média (8.24) (8.25) Para escoamento em tubo circular com  e cp constantes e : (8.26)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2. Considerações Térmicas 8.2.2. Lei do Resfriamento de Newton (8.27) Onde h é o coeficiente de transferência de calor local Tm e T∞ (para esc. externo) são essencialmente diferentes - T∞ é constante ao longo do escoamento (ao longo de x) - Tm varia ao longo do escoamento (ao longo de x)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato atingidas?

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Introduzindo uma diferença de temperaturas adimensional na forma O escoamento é considerado termicamente desenvolvido quando: (8.28) Válida para - Temperatura Superficial Uniforme e - Fluxo Térmico Uniforme na superfície

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x, sua derivada em relação a r também é independente de x, ou seja: Da Lei de Fourier Da Lei do Resfriamento de Newton Manipulando as 3 equações anteriores, resulta:

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas (8.28) ● No escoamento termicamente plenamente desenvolvido de um fluido com propriedades constantes o coeficiente de transferência de calor por convecção local (h) é uma constante independente de x . ● Na entrada, h varia com x

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Figura 8.5: Variação de h em um tubo.

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.2.3. Condições Plenamente Desenvolvidas Para fluxo térmico na superfície uniforme, tem-se: Para temperatura superficial constante, tem-se:

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.1. Considerações Gerais Partindo da Equação (1.11e) e aplicando acima: (8.34) (8.36)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.1. Considerações Gerais representando Rearranjando e substituindo (8.37)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.1. Considerações Gerais (8.37) A solução da equação (8.37) depende da condição térmica da superfície. Serão consideradas dois casos: - Fluxo térmico constante na superfície; - Temperatura superficial constante.

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.2. Fluxo Térmico na Superfície Constante A taxa de transferência de calor é dada por: (8.38) Integrando a Equação (8.37) desde x=0: (8.37)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3. O Balanço de Energia 8.3.2. Fluxo Térmico na Superfície Constante

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Fazendo (Ts-Tm)= T na equação (8.37) Separando variáveis e integrando

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Resolvendo a integração, resulta: Lembrando que é, por definição o coeficiente de convecção médio ,ou tem-se: (8.41a)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante Reordenando resulta: (8.41b) Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x no interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral: (8.42) (Ts-Tm) Decai exponencialmente com x

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante ● Taxa de transferência de calor Da equação (8.34) Somando e subtraindo Ts Substituindo tirado da Equação (8.41a)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante ● Taxa de transferência de calor (8.43) Onde - É a área da superfície do tubo - É a média logarítmica de temperatura dada por: (8.44)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante ● Taxa de transferência de calor Se no lugar da temperatura da superfície for conhecida a temperatura do fluido externo ao tubo, tem-se: (8.45a) e (8.46a) Onde é o coeficiente global de transferência de calor desenvolvido no capítulo 3

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.3.3. Temperatura Superficial Constante ● Taxa de transferência de calor As equações (8.45a) e (8.46a) podem ser escritas como: (8.45b) e (8.46b) Onde

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.4. Escoamento Laminar em Tubos Circulares: Análise Térmica e Correlações da Convecção 8.4.1. Região Plenamente Desenvolvida ● Para fluxo de calor constante (8.53) ● Para temperatura da superfície constante (8.55) Obs.: - Fluido incompressível com propriedades constantes - k é avaliado em Tm

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.4.2. A Região de Entrada ● Comprimento de entrada térmica ou comprimento de entrada combinada com Pr  5 (Ts constante) (8.56) Obs.: Exceto para s todas as propriedades devem ser estimadas em :

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.4.2. A Região de Entrada ● Comprimento de entrada combinada (Ts constante) (8.57) Obs.: Exceto para s todas as propriedades devem ser estimadas em :

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.4.2. A Região de Entrada

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares ● Equação de Colburn (Escoamento plenamente desenvolvido) (8.59)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares ● Equação de Dittus-Boelter (8.60) Todas as propriedades devem ser estimadas a Tm

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares ● Equação de Sieder e Tate (Escoamento com grandes variações das propriedades) (8.61) Exceto para s todas as propriedades devem ser estimadas a Tm

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares ● Equação de Gnielinski (Menor erro) (8.62) As propriedades devem ser estimadas a Tm

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares ● Equação de Skupinski et al. (Metais Líquidos) (8.64) ● Equação de Seban e Shimazaki (Metais Líquidos) (8.65)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.5. Correlações da Convecção: Escoamento Turbulento em Tubos Circulares ● É razoável admitir que o número de Nusselt médio em todo o tubo seja igual ao valor associado a região de escoamento plenamente desenvolvido para L/D > 60. ● Ao se determinar o número de Nusselt médio todas as propriedades dos fluidos devem ser estimadas na média aritmética da temperatura média, ou seja:

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.6. Correlações da Convecção: Tubos Não-Circulares ● Utiliza-se as mesmas correlações dos tubos circulares; ● Deve ser utilizado o diâmetro hidráulico definido como: (8.66) onde: - Atr é a área da seção transversal; - P é o perímetro molhado

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.6. Correlações da Convecção: Tubos Não-Circulares, Escoamento Laminar

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos (8.67) (8.68) (8.69) (8.70) (8.71)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos ● Escoamento laminar plenamente desenvolvido; ● Uma superfície termicamente isolada e a outra superfície a temperatura constante.

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos ● Escoamento laminar plenamente desenvolvido; ● Fluxo térmico constante em ambas as superfícies. (8.72) (8.73)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos (8.72) (8.73)

CAPÍTULO 8 – Escoamento Interno 8.6. Correlações da Convecção: Região Anular entre Tubos Concêntricos ● Escoamento turbulento plenamente desenvolvido; Utilizar equação de Dittus-Boelter (Equação 8.60) com o emprego do diâmetro hidráulico (8.60) (8.71)