Aula 13 Derivação Implícita, derivadas das funções trigonométricas inversas e derivadas de funções logarítmicas

Derivação Implícita As funções encontradas até agora podem ser descritas expressando-se uma variável em termos de outra. Por exemplo: ou Em geral,

Função Implícita Algumas funções, entretanto, são definidas implicitamente por uma relação entre e Por exemplo, ou Obs.: Em alguns casos é possível resolver tais equações isolando como uma função explícita de

Exemplo Logo, duas funções determinadas pela equação implícita são e Os gráficos de e podem ser visto a seguir

Exemplo

Observação Não é fácil resolver a equação e escrever como uma função de à mão. Para um sistema de computação algébrica não há problema, mas as expressões obtidas são muito complicadas. Não obstante, a expressão acima é a equação da curva chamada fólio de Descartes.

O fólio de Descartes.

Gráfico de três funções definidas pelo fólio de Descartes

Derivação Implícita O método de derivação implícita consiste em derivar ambos os lados da equação em relação a e então isolar na equação resultante.

Exemplo 1 Se encontre Encontre uma equação da tangente ao círculo no ponto

Solução (a) Note que

Solução Assim, Agora, isolando obtemos: (b) No ponto temos . Logo uma equação da reta tangente ao círculo no ponto é, portanto ou

Exemplo 2 Encontre se Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes no ponto Em quais pontos do primeiro quadrante a reta tangente é horizontal?

Solução Derivando ambos os lados de em relação a obtemos Ou Isolando obtemos:

Solução (b) Quando Reta tangente ou

Solução (c) A reta tangente é horizontal se quando desde que . Substituindo na equação da curva, obtemos Como no 1º. quadrante, temos:

Solução Se então Assim, a tangente é horizontal em que é aproximadamente

Exemplo 3 Encontre se Solução: derivando implicitamente em relação a obtemos Portanto,

Exemplo 4 Encontre se Solução: derivando implicitamente em relação a obtemos Derivando usando a Regra cadeia e substituindo a expressão obteremos

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas A função inversa da função seno é definida por Derivando implicitamente em relação a obtemos ou

Derivada da função arco seno Note que uma vez que logo: Portanto, Logo,

Derivada da função arco tangente derivando essa última equação implicitamente em relação a temos Portanto,

Exemplo 5 Derive (a) (b) Solução: (a)

Exemplo 5 (b) Solução

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

Derivadas de Funções Trigonométricas Seja Então . Derivando essa equação implicitamente em relação a obtemos e assim

Derivadas de Funções Trigonométricas Se pusermos na fórmula anterior obteremos onde e

Exemplo 1 Derive Solução: Fazendo logo

Fórmula geral ou onde e

Exemplo 2 Encontre Solução:

Exemplo 3 Derive Solução:

Exemplo 4 Derive Solução:

Exemplo 5 Encontre Solução:

Exemplo 5 Solução 2

Exemplo 6 Encontre se Solução: Portanto para todo

Derivação Logarítmica Os cálculos de derivadas de funções complicadas envolvendo produtos, quocientes ou potências podem muitas vezes ser simplificados tomando-se os logaritmos. Esse método é chamado Derivação Logarítmica.

Exemplo 7 Derive Solução: Derivando implicitamente em relação a obtemos

Exemplo 7 Isolando obtemos e usando a expressão explícita para temos

Passos na derivação logarítmica Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação e use as propriedades dos logaritmos para simplificar. 2. Derive implicitamente em relação a . 3. Isole na equação resultante.

Regra da Potência Se for qualquer número real e então Vejamos: seja

Caso de derivação para os expoentes e bases 1. ( e são constantes) 2. 3. 4. Para encontrar a derivação logarítmica pode ser usada, como no exemplo a seguir.

Exemplo 8 Derive Solução:

Exemplo 8 Solução 2: Outro método é escrever

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