Exemplo 2: Lançamento de 4 moedas Considerando a quantidade de caras (k), teremos: Resultados kkkk kkkc kkck kckk ckkk kkcc kckc ckkc ckck cckk kcck kccc ckcc cckc ccck cccc quantidade de caras (k) probabilidade 1 2 3 4 1/16 4/16 6/16

Como a distribuição de probabilidade é uma função que associa um número real a cada evento de E ariável aleatória (diz respeito à característica do experimento que queremos estudar), para este exemplo teremos: x = 0 F(0) =1/16 x = 1 F(1) =4/16 x = 2 F(2) =6/16 x = 3 F(3) =4/16 x = 4 F(4) =1/16 Como a nossa variável pertence a um conjunto finito, dizemos que esta é uma variável discreta.

Caso nossa variável pertencesse a um conjunto infinito... x = 0 x = 1 dizemos que esta é uma variável contínua. x = 2 x = 3 x = 4 .

Para o caso de uma variável contínua, a função que associa cada valor da variável aleatória a um número Real é chamada função densidade de probabilidade que é dada por:

Representação gráfica

OBS.: Para calcularmos uma probabilidade qualquer, devemos trabalhar com intervalos, pois a distribuição é contínua. Tal probabilidade é dada pela área sob a curva delimitada pelo intervalo dado. Observe os exemplos.

Como Área sob curva = Integral logo, por exemplo:

Como para o calcular tais áreas devemos realizar cálculos de Integrais um pouco complicadas, tais cálculos foram realizados para todas as áreas possíveis e foi tabelado. Este cálculo é feito apenas para distribuição Normal com média = 0 e desvio padrão = 1. Essa Normal é chamada Normal Padrão ou Normal reduzida e a variável aleatória é, em geral, representada pela letra Z onde:

Onde: Z = número de desvios-padrões, a contar da média σ = desvio padrão μ = média aritmética

P(62 < X < 80) = P(0 < Z < 2,25) Suponha agora, um trabalhador leve um tempo médio 62 segundos para montar uma peça, com desvio padrão 12. Um consultor quer saber qual é a probabilidade de um trabalhador levar um tempo entre 62 e 80 segundos para montar uma peça, ou seja, P(62 ≤ x ≤ 80). Como proceder? Transformar as variáveis X em variáveis normais padronizadas Z: A probabilidade de ter um aluno com nota entre 62 e 80 é a mesma probabilidade tabelada de 0 a 2,25, ou seja: P(62 < X < 80) = P(0 < Z < 2,25)

P(62 < X < 80) = P(0 < Z < 2,25) A probabilidade de ter um trabalhador com montando uma peça com tempo entre 62 e 80 é a mesma probabilidade tabelada de 0 a 2,25; ou seja: P(62 < X < 80) = P(0 < Z < 2,25) Como ver na tabela: z = 2,25? 2,2 é o número que pode ser visto no canto esquerdo vertical 5 (0,05) na parte superior horizontal.

Então, a probabilidade de um trabalhador ter Montado uma peça de 62 a 80 pontos é 0,4878 (48,78%). Podemos escrever: P(62 < X < 80) = P(0 < Z < 2,25) = 0,4878 = 48,78%

Algumas observações:

As vendas diárias de um confeitaria no centro de uma cidade têm distribuição normal, com média igual R$ 450,00 por dia e desvio padrão igual a R$ 95,00. Qual é a probabilidade das vendas atingirem R$ 700,00 em determinado dia?

atingir 700 => P (0 < x < 700) Z = (700 – 450) 95 Z = 2,63 P = 0,4957

Suponha que entre pacientes o nível de colesterol tenha uma distribuição aproximadamente Normal de média 105 mg por 100 ml e um desvio padrão 9 mg por 100 ml. Qual a proporção de diabéticos que tem níveis entre 90 e 125 mg por 100 ml? Z = (125 – 105) 9 Z = (90 – 105) 9 Z = -1,67 Z = 2,22 Então, calcular P (-1,67 < Z < 2,22)

P(-1,67 < Z < 2,22) = P(-1,67 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,22) = 0,4525 + 0,4868