MATEMÁTICA

Matemática contexto e aplicações Luiz Roberto Dante – 2º ano Ensino Médio

4º Bimestre – Análise combinatória e probabilidade Neste bimestre foram trabalhados os temas: Princípio fundamental da contagem Fatorial Permutações simples Permutações com repetição Arranjos simples Combinações simples Números binomiais Triângulo de Pascal Binômio de Newton Probabilidade – Definições União de Eventos Probabilidade Condicional Eventos independentes Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Se um evento é composto de duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa é m e para cada possibilidade na 1ª etapa o número de possibilidades na 2ª etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m ⋅ n. Exemplo: Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de três algarismos podemos formar? Existem 8 algarismos de 0 a 7. Há 7 possibilidades para a centena (0 não é permitido), 8 para a dezena e 8 para a unidade. Portanto podemos formar 7 ⋅ 8 ⋅ 8 = 448 números. Temos: _______ ______ _______ centena dezena unidade Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA Fatorial e PERMUTAÇÃO SMPLES Fatorial n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 n ∈ ℕ e n ≥ 1 Considera-se 0! = 1 Propriedade: n! = n ⋅ (n − 1)! ou n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2)!, etc.. Permutações simples De quantas maneiras podemos ordenar em fila n objetos distintos? Podemos escolher o primeiro elemento da fila de n maneiras; o segundo de (n − 1) maneiras; o terceiro de (n − 2) maneiras, até o último que teremos uma única maneira. Ou seja, temos n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1. Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutações simples. Indicamos por Pn e escrevemos: Pn = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ … ⋅3 ⋅ 2 ⋅ 1. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES O número de permutações de n elementos dos quais α é de um tipo, β é de outro e γ é de outro, com α + β + γ = n é dado por: , onde α, β e γ representam o número de vezes que certo elemento se repete. Exemplo: Na palavra BATATA (que possui 6 letras), a letra A aparece três vezes, enquanto a letra T aparece duas vezes e a letra B aparece uma única vez. O número de anagramas dessa palavra é dado por: Professor, comente com seus alunos que anagrama é uma palavra ou frase que é construída através da alteração das letras de uma outra palavra ou frase. Observe que não há a necessidade de colocar o 1! da letra que comparece uma única vez. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA ARRANJOS SIMPLES   Lê-se: Arranjos de n elementos tomados p a p.   Exemplo: Quantos números de três algarismos distintos podemos escrever com os caracteres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8? Resolução: Professor, comente com seus alunos que, nos problemas envolvendo arranjos simples, é melhor trabalhar com o Princípio fundamental da contagem.   = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 anagramas. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA COMBINAÇÕES SIMPLES   Como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa. Só consideramos subconjuntos distintos os subconjuntos que diferem pela natureza dos seus elementos. Professor, calcular o número total de combinações simples de n objetos tomados p a p é o mesmo que perguntar de quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados. Veja: Com 6 homens, o número de comissões distintas onde em cada uma contenha exatamente 4 pessoas é dado por C6,4 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA ARRANJO OU COMBINAÇÃO? 1. Quantos números de três algarismos distintos, podemos obter usando apenas os caracteres 2, 4, 6, 8 e 9? Observe, por exemplo, que 289 ≠ 298. A ordem dos elementos é importante no problema. Arranjo simples. Queremos agrupar ordenadamente (arranjar) 5 elementos de 3 em 3. A5,3 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 2. Com Ana Clara, Aline, Thais, Keila e Bruno, queremos montar grupos contendo exatamente três dessas pessoas. Quantos grupos distintos podem ser montados? Observe, por exemplo, que o grupo contendo Ana Clara, Thais e Bruno é o mesmo que contém Ana Clara, Bruno e Thais. A ordem dos elementos não é importante no problema. Combinação simples. Queremos combinar 5 elementos de 3 em 3. C5,3 = 10 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA NÚMEROS BINOMIAIS       Propriedades: Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo numerador e: suas classes forem iguais, ou a soma de suas classes for igual ao numerador (binomiais complementares).       De fato: e Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA TRIÂNGULO DE PASCAL OU TRIÂNGULO ARITMÉTICO Podemos dispor os números binomiais em formações triangulares da seguinte forma: OU Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA TRIÂNGULO DE PASCAL OU TRIÂNGULO ARITMÉTICO Calculando cada número binomial, temos: OU Propriedades: Relação de Stifel Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA BINÔMIO DE NEWTON Toda potência da forma (x + y)n, com x ∈ ℝ, y ∈ ℝ e n ∈ ℕ, é conhecida como binômio de Newton. Note que os expoentes de x começam em n e decrescem de 1 em 1 até 0, enquanto os expoentes de y começam em 0 e crescem de 1 em 1 até n. Essa mesma fórmula pode ser escrita como: Professor, comente com os alunos como interpretar o símbolo de somatório. , P = 0, 1, 2, 3, ..., n Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA BINÔMIO DE NEWTON: SOMA DOS COEFICIENTES A soma dos coeficientes do desenvolvimento de , nas variáveis x e y, é dado por Binômio de Newton: Fórmula do termo geral Vimos que , p = 0, 1, 2, 3, …, n.   Professor, comente com seus alunos que a fórmula do termo geral é a mesma do desenvolvimento do Binômio de Newton sem o somatório.     Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE Considere que ao lançar um dado honesto, uma pessoa ganha um determinado prêmio, se a face voltada para cima, após o lançamento, for um número múltiplo de 3. Observe que ao lançarmos esse dado, as possibilidades da face voltada para cima são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Os números 3 e 6 são os únicos da relação acima que são múltiplos de 3. Assim, a pessoa tem duas chances em seis de ganhar o prêmio. Essa chance é medida por meio de um número real, denominado de probabilidade e dizemos que a probabilidade de no lançamento de um dado honesto sair na face voltada para cima um número múltiplo de 3 é de duas em seis ou Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE PROBABILIDADES Definições Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis na ocorrência de um fenômeno aleatório. n(E) = número de elementos do espaço amostral. Evento: É todo subconjunto de um espaço amostral. n(A) = número de elementos do evento A. Evento complementar: É o conjunto formado por todos os elemento do espaço amostral que não pertencem ao evento A. É representado por Ā. Probabilidade: P(A) = probabilidade de ocorrer o evento A. P(A) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝐸) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE EVENTOS CERTO, IMPOSSÍVEL E MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Considere o experimento aleatório “lançar um dado e registrar o resultado”. Temos: espaço amostral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} evento A: “ocorrência de um número menor que 7”; A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E evento B: “ocorrência de um número maior do que 6”; B= ∅. Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado de evento certo e a probabilidade p de que ele ocorra é de 100% = 1. Conclusão: 0 ≤ p ≤ 1 Quando um evento é vazio, ele é chamado de evento impossível e a probabilidade p de que ele ocorra é 0. Quando a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados de eventos mutuamente exclusivos. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE DEFINIÇÃO TEÓRICA DE PROBABILIDADE E CONSEQUÊNCIAS Definição teórica de probabilidade Propriedade: Consequências da definição 1ª propriedade: Impossibilidade 2ª propriedade: Probabilidade do evento complementar 3ª propriedade: Probabilidade da união de eventos Professor, comente com seus alunos que se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então p(A∪B) = p(A) + p(B). Observe que em n(A) + n(B), n(A∩B) foi contado duas vezes. Assim, teremos: n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) e p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE PROBABILIDADE CONDICIONAL Uma urna contém 12 bolas numeradas de 1 a 12 (há apenas um número em cada bola). Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade dessa bola conter um número múltiplo de 3? Qual a probabilidade dessa bola conter um número múltiplo de 3, sabendo que o número que está nessa bola é maior que 8? No item (a), temos: n(E) = 12 e n (A) = 4. Então: Para o item (b), considere: A = A bola contém um número múltiplo de 3. B = A bola contém um número maior que 8. P(A/B) = Probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo de antemão que já ocorreu o evento B. Nesse caso, n(E) = {9, 10, 11, 12} e P(A/B) = Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE PROBABILIDADE CONDICIONAL     Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre

CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE EVENTOS INDEPENDENTES Considere dois eventos A e B de um espaço amostral E. Se a probabilidade de ocorrer o evento B, por exemplo, não depende do fato de ter ocorrido ou não o evento A, dizemos que A e B são eventos independentes. Dois eventos A e B de um espaço amostral E (com p(A) ≠ 0 e p(B) ≠ 0) são independentes se, e somente se: Sair o número 2 no dado verde, por exemplo, independe do número que já tenha saído no dado vermelho. p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(b) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre