MATEMÁTICA

Matemática contexto e aplicações Luiz Roberto Dante – 3º ano Ensino Médio

1º Bimestre – Matemática financeira e estatística Neste bimestre foram trabalhados os temas: Porcentagens Aumentos e descontos percentuais Termos da matemática financeira Juros simples, juros compostos e equivalência de taxas Noções de estatística Frequência absoluta e frequência relativa Tabela de frequências Representação gráfica Medidas de tendência central Medidas de dispersão Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – MATEMÁTICA FINANCEIRA PORCENTAGEM AUMENTO E DESCONTO PERCENTUAL O símbolo % significa a centésima parte do todo, ou seja dividir o todo por 100. 20%= 20 100 = 2 10 =0,2 Em geral, a preposição “de” está relacionada à multiplicação Exemplo: 30 por cento de 400 = 30% ⋅ 400 = 0,3 ⋅ 400 = 120 Aumento percentual O valor final Vf de um produto que custava Vi e teve um aumento no seu preço de x% em relação à Vi é dado por:   𝑉 𝑓 =( 1+ 𝑥 100 ). 𝑉 𝑖 Desconto percentual O valor final Vf de um produto que custava Vi e teve um desconto no seu preço de x% em relação à Vi é dado por: 𝑉 𝑓 =( 1− 𝑥 100 ). 𝑉 𝑖 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – MATEMÁTICA FINANCEIRA AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS Aumentos sucessivos e iguais Sendo Vi o valor inicial e Vn o valor após n acréscimos sucessivos de x%, ao final do n-ésimo acréscimo, teremos:   𝑉 𝑓 = 1+ 𝑥 100 𝑛 . 𝑉 𝑖 Descontos sucessivos e iguais Sendo Vi o valor inicial e Vn o valor após n descontos sucessivos de x%, ao final do n-ésimo desconto, teremos: 𝑉 𝑓 = 1− 𝑥 100 𝑛 . 𝑉 𝑖 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – MATEMÁTICA FINANCEIRA TERMOS IMPORTANTES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Numa aplicação financeira: Capital (C): valor aplicado. Juros (j): valor recebido como compensação pela aplicação do capital (C), por um determinado tempo (t), a uma taxa de juros (i). Montante: Quantia correspondente ao capital (C) aplicado mais os juros (j). M = C + j A aplicação é semelhante a um empréstimo feito ao banco, porém, na aplicação, quem aplica recebe os juros e no empréstimo, quem pede emprestado paga os juros. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 1 – MATEMÁTICA FINANCEIRA JUROS SIMPLES, JUROS COMPOSTOS E EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Juros simples Se um capital C é aplicado durante t unidades de tempo e a taxa i de juros por unidade de tempo incide apenas sobre o capital inicial, os juros j são chamados juros simples. j = C ⋅ i ⋅ t e M = C + j Equivalências de taxas Se i é a taxa de juros relativa a 1 ano, a taxa de juros relativa a n anos é I, tal que: 1 + I = (1 + i)n Juros compostos No sistema de juros compostos, deve-se calcular os juros no fim de cada período, formando um montante sobre o qual se calculam os juros do período seguinte, até esgotar o tempo de aplicação (é o que chamamos de "juros sobre juros"). Nesse sistema, o montante M produzido por um capital C, aplicado à taxa i ao período, no fim de t períodos é dado por: Professor, comente com seus alunos que o objeto aumentar 20% e depois reduzir 20% não chegamos necessariamente ao seu valor inicial. M = C ⋅ (1 + i)t Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA TERMOS DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA Universo estatístico ou população estatística é o conjunto de todos os elementos que são capazes de fornecer dados para uma pesquisa. Quando o universo estatístico possui um número muito grande de elementos de tal maneira não ser possível colher informações com todos eles, é então utilizado um subconjunto desse universo que é chamado amostra. Variável é cada uma das características inseridas na pesquisa. Variável qualitativa: apresentam como possíveis valores uma qualidade (ou atributo) dos indivíduos pesquisados. Variável quantitativa: seus possíveis valores são números. Variável qualitativa nominal ordinal quantitativa Professor, comente com seus alunos a diferença entre variável qualitativa e quantitativa, dando exemplos de variável qualitativa nominal e ordinal e de variável quantitativa discreta e contínua. Variável quantitativa discreta: quando se trata de contagem (números inteiros). Variável qualitativa ordinal: quando existe uma ordem nos seus valores. Variável qualitativa nominal: quando não existe uma ordem nos seus valores. Variável quantitativa contínua: quando se trata de medida (números reais) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA FREQUÊNCIA ABSOLUTA E FREQUÊNCIA RELATIVA. Um grupo composto por dez pessoas, temos que Paulo, André e Marcos são do Rio Grande do Sul; Daniela, Silvana, Ruth e Isabel são do Ceará; Rodrigo e Sarah são do Rio de Janeiro e Júlia é do Amazonas. Considerando nesse exemplo a variável estado onde nasceu, temos: A frequência absoluta, que é o número de vezes que o valor da variável foi citado, é: Rio Grande do Sul, 3; Ceará, 4; Rio de janeiro 2; Amazonas 1. A frequência relativa registra a frequência absoluta em relação ao total de citações. A frequência relativa do estado do Rio Grande do Sul é 3 em 10 ou 3 10 ou 0,3 ou 30%. A frequência relativa do estado do Ceará é 4 em 10 ou 4 10 ou 0,4 ou 40%. Professor, comente com seus alunos que a soma de todas frequências de uma amostra deve ser igual a 100%. A frequência relativa do estado do Rio de Janeiro é 2 em 10 ou 2 10 ou 0,2 ou 20%. A frequência relativa do estado do Rio de Janeiro é 1 em 10 ou 1 10 ou 0,1 ou 10%. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA TABELA DE FREQUÊNCIAS É a tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), com as frequências absolutas (FA) e relativa FR). Usando o exemplo anterior, temos: Estado FA FR Rio Grande do Sul 3 30% Ceará 4 40% Rio de Janeiro 2 20% Amazonas 1 10% Quando a variável é quantitativa, ou seja, quando a informação pode ser representada por um número, a organização desses dados em ordem crescente ou decrescente é denominada de rol. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Gráfico de segmentos Os gráficos de segmentos são utilizados principalmente para mostrar a evolução das frequências dos valores de uma variável durante certo período. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Gráfico de barras Professor, comente com seus alunos que, para se usar o gráfico de barras, as classes têm que ser unitárias. Gráfico de barras verticais Gráfico de barras horizontais Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Gráfico de setores Em cada gráfico de setores, o círculo todo indica o total (1000 espectadores ou 100%) e cada setor indica a ocupação de uma sala. Na construção do gráfico de setores, determina-se o ângulo correspondente a cada setor proporcionalmente à frequência. Calculando o ângulo central do setor A, pelo exemplo, temos: 300 1000 = 𝑥 360 𝑜 𝑥 = 108 𝑜 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Histograma Quando uma variável tem seus valores indicados por classes (intervalos), é comum o uso de um tipo de gráfico conhecido por histograma. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL As medidas de tendência central indicam o posicionamento dos elementos dentro de um rol numérico. Média aritmética Dados n valores x1, x2, x3, …, xn de uma variável, a média aritmética desses valores é o número obtido da seguinte forma: Exemplo: A média aritmética dos números 7, 8, 3 e 6 é: 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑀𝐴= 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + …+ 𝑥 𝑛 𝑛 = 𝑛 MA = 7+8+3+6 4 = 24 4 = 6 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Mediana (Me) A mediana (Me) é o elemento central do rol que tiver um número ímpar de elementos ou a média aritmética entre os dois elementos centrais do rol que tiver um número par de elementos. Exemplos: (2, 2, 4, 5, 5, 8, 15) Me = 5 (termo central – o rol tem número –impar de termos) 2) (1, 3, 4, 7, 8, 8, 9 ,15) Me = 7+8 2 = 15 2 = 7,5 (média aritmética dos termos centrais – o rol tem, número par de termos) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Moda (Mo) Dada uma tabela ou uma relação de dados, chama-se Moda (Mo) o elemento que mais aparece ou seja, o de maior frequência nessa tabela ou relação. Exemplo: Dada a relação das idades de 10 crianças em um grupo: (5, 7, 4, 5, 9, 5, 3, 3, 5, 8) A moda dessa é relação é 5 (elemento que mais apareceu). Observações: Se numa tabela ou relação dois elementos aparecem a mesma quantidade de vezes (e mais que uma vez), dizemos que essa distribuição de valores é bimodal. Quando não há repetição de números, a distribuição é chamada amodal. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA MÉDIA ARITMÉTICA A PARTIR DE TABELAS DE FREQUÊNCIAS Frequência de intervalos de “peso” de um grupo de pessoas Valor médio de intervalos de “peso” do mesmo grupo de pessoas Média aritmética dos “pesos” das pessoas desse grupo MA = 1 . 42+3 . 46+7 . 50+6 . 54+3 . 38 20 = 42+ 138+350+324+174 20 = 1028 20 =51,4 Assim, a média aritmética é 51,4 kg Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA MEDIDAS DE DISPERSÃO Para ocupar um cargo numa empresa, dois candidatos A e B fizeram quatro provas (I, II, III e IV) valendo de 0 a 10 cada uma delas. O resultado é o que se encontra na tabela seguinte. Prova I Prova II Prova III Prova IV Candidato A 4,0 6,0 5,0 Candidato B 7,0 9,0 1,0 3,0 Média aritmética do candidato A = 5,0. Média aritmética da candidato B = 5,0. Para determinar qual dos dois candidatos teve um desempenho mais regular, usa-se os conceitos de variância e desvio padrão e dizemos que o candidato mais regular é o que possui o menor desvio padrão. Em seguida estudaremos tais conceitos. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA MEDIDAS DE DISPERSÃO Situação-problema: Vamos considerar os dados do problema anterior. Candidato A: (4, 6, 5, 5) e MA (média aritmética das notas do candidato A) = 5 Candidato B: (7, 9, 1, 3) e MB (média aritmética das notas do candidato B) = 5 Variância (V) É a média aritmética dos quadrados das diferenças entre cada elemento da amostra e a média aritmética dessa amostra. 𝑉𝐴= (4 −5) 2 + (6 −5) 2 + 5 −5 2 + (5 −5) 2 4 = 1+1+0+0 4 =0,5 Variância do candidato A. 𝑉𝐵= (7 −5) 2 + (9 −5) 2 + 1 −5 2 + (3 −5) 2 4 = 4+16+16+4 4 =10 Variância do candidato B. A variância do candidato A é menor que a do candidato B. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre

CAPÍTULO 2 – ESTATÍSTICA MEDIDAS DE DISPERSÃO Desvio padrão (DP) O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância. Assim, no nosso exemplo, temos: DPA = Desvio padrão do candidato A = 0,5 ≅0,71 DPB = Desvio padrão do candidato B = 10 ≅3,16 DPA < DPB ⇒ O candidato A foi mais regular comparado com o candidato B. A variância e o desvio padrão são necessariamente números não negativos. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3 | 1º Bimestre