Aceite para publicação em 15 de Março de 2010 CIRCUNFERÊNCIA Aceite para publicação em 15 de Março de 2010

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introdução pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo circunferência ângulo ao centro ângulo inscrito

propriedades estudo das relações entre a circunferência e os elementos geométricos que lhe estão associados propriedade 1 propriedade 4 propriedade 7 propriedade 2 propriedade 5 propriedade 8 propriedade 3 propriedade 6 propriedade 9

circunferência a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a O é igual a r

ângulo ao centro um ângulo ao centro é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos lados contêm raios ângulo ao centro arco correspondente

ângulo inscrito um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados contêm cordas ângulo inscrito arco correspondente

Clica na figura e tenta descobrir! Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e do arco correspondente? Clica na figura e tenta descobrir! ângulo ao centro arco correspondente

propriedade 1 A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente.

Clica na figura e tenta descobrir! Qual será a relação entre arcos e cordas de ângulos ao centro geometricamente iguais? Clica na figura e tenta descobrir! Ao ângulo ao centro correspondem o e a corda Ao ângulo ao centro correspondem o e a corda

propriedade 2 A ângulos ao centro geometricamente iguais correspondem arcos e cordas geometricamente iguais.

Clica na figura e tenta descobrir! Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e de um ângulo inscrito no mesmo arco? Clica na figura e tenta descobrir! Ao ângulo ao centro e ao ângulo inscrito corresponde o mesmo

Propriedade 3 A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente.

Propriedade 4 Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais.

O diâmetro coincide com a hipotenusa do triângulo rectângulo. Propriedade 5 Qualquer triângulo inscrito numa semi- circunferência é um triângulo rectângulo. O triângulo [ABC] é um triângulo rectângulo. O diâmetro coincide com a hipotenusa do triângulo rectângulo. Clica aqui para mais informações acerca de triângulos rectângulos

Qual será a relação entre as amplitudes de ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência? Clica na figura e tenta descobrir! é oposto a é oposto a Clica aqui para mais informações acerca de polígonos inscritos em circunferências

Propriedade 6 Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares.

Clica na figura e tenta descobrir! Cordas paralelas definem dois ângulos ao centro, dois arcos e duas cordas. Qual será a relação entre eles? Clica na figura e tenta descobrir! As cordas paralelas e definem os ângulos ao centro e os arcos e as cordas e

Propriedade 7 Cordas paralelas definem arcos, cordas e ângulos ao centro geometricamente iguais.

Qual será a posição relativa do raio [OT] e da recta tangente à circunferência em T? Clica na figura e tenta descobrir! Raio da circunferência Recta tangente à circunferência em

Propriedade 8 Uma recta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Qual será a posição relativa do centro de uma circunferência e da mediatriz de uma sua corda? Clica na figura e tenta descobrir! corda da circunferência Mediatriz de

Propriedade 9 A mediatriz de qualquer corda passa no centro da circunferência. Clica aqui para mais informações sobre a mediatriz

Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência. Polígonos Regulares Um polígono regular é um polígono com todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma amplitude. Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência. O pentágono é um polígono regular

Como determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de polígonos regulares? Clica na figura e tenta descobrir! ângulo interno ângulo externo

Ângulos de polígonos regulares Exemplo: Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de um pentágono regular: ângulo externo ângulo interno

Ângulos de polígonos regulares Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externo de um polígono regular com n lados:

Rotações Uma rotação de centro O e ângulo de amplitude  é uma transformação geométrica que ao ponto O faz corresponder o próprio ponto O e que a cada ponto A da figura inicial faz corresponder o ponto A´ da figura final tal que: e centro da rotação figura inicial figura final sentido da rotação ângulo da rotação - + Clica aqui para experimentares outras rotações

extras nesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos simbologia classificação de ângulos classificação de triângulos teorema de Pitágoras mediatriz polígonos inscritos em circunferências

simbologia

classificação de ângulos

classificação de triângulos Propriedade: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º Clica aqui para veres uma demonstração

lados perpendiculares. Teorema de Pitágoras Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto. Os catetos são os dois lados perpendiculares. Voltar à propriedade 5 Clica aqui para mais informações sobre o Teorema de Pitágoras

Mediatriz A mediatriz de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de A e de B. mediatriz de ponto médio de e são perpendiculares

Mediatriz e triângulos As 3 mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se num ponto que se chama circuncentro. O circuncentro é o centro da circunferência que contém os 3 vértices do triângulo. Voltar à propriedade 9 Clica aqui para mais informações sobre pontos notáveis de um triângulo

Polígonos inscritos em circunferências Um polígono está inscrito numa circunferência se cada um dos seus vértices for um ponto da circunferência. O polígono está inscrito na circunferência O polígono não está inscrito na circunferência voltar à propriedade 6

Créditos Este trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html. Este trabalho foi publicado sob licença Creative Commons da Casa das Ciências

Agradecimentos À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das Ciências Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões À minha aluna Ana Beatriz Pinto do 7ºE, pela ideia para a figura da capa Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles

Erika Bizarro 2010 FIM