Revisão do conceito de matrizes Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães leila_lage@uol.com.br

Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes. Tema da aula 05 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.

Matrizes – cálculo cofator Dada uma matriz A = (aij), quadrada de ordem n, n є N* e n≥2, denominamos cofator de aij o produto de (-1) i+j pelo determinante Dij da matriz que se obtém quando se retira A a i-ésima linha e j-ésima coluna. O cofator aij será indicado por Cij. Cij = (-1)i+j . Dij

Matrizes – cálculo cofator O cofator do elemento a23 da matriz é: 2 1 0 1 C23 = (-1) 2+3 . C23 = -2

Matrizes – Teorema de Laplace Cálculo do determinante de uma matriz quadrada (aij)nxn para n≥2. Soma-se os produtos dos elementos de uma fila qualquer (linhas ou colunas) pelos seus respectivos cofatores.

Matrizes – Teorema de Laplace a1n a21 a22 a23 a2n a31 a32 a33 a3n A escolha da linha ou coluna deve considerar o maior número de zeros para facilitar as operações. A = Det A= a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 + ... a1n.A1n sendo, A1n cofator C1n

Matrizes – Teorema de Laplace Exemplo 1 2 4 -2 3 5 7 6 A escolha da linha ou coluna deve considerar o maior número de zeros para facilitar as operações. A = Det A= a21.A21 + a22.A22 + a23.A23 + a24.A24 Det A = -2. A21 + 0. A22 + 0.A23 + 0.A24

Matrizes – Teorema de Laplace 1 2 4 -2 3 5 7 6 Exemplo A = Det A = -2. A21 + 0. A22 + 0.A23 + 0.A24 Det A = -2. A21 A21 = C21 2 4 5 7 1 -2 6 C21= (-1) 2+1.

Matrizes – Teorema de Laplace Det A = -2. A21 Exemplo 2 4 5 7 1 -2 6 Cálculo do determinante usando Sarrus C21= (-1) 2+1. det = (2.7.6) + (0.1.-2) + (4.5.1) + (-4.-7.2) + (-2.-1.-1) + (0.-5.-6) = 84 + 0 + 20 + 56 -2 + 0 = 158 C21 = -1.158 = - 158 Det A = -2.-158 = 316

Matrizes – Teorema de Laplace Exercício 1 2 4 3 5 -1 -2 A escolha a coluna indicada A = Det A= a11.A11 + a21.A21 + a31.A31 Det A = 1. A11 + 3. A21 + 5.A31 Det A = -33

Matrizes – Teorema de Laplace Exercício -2 5 3 1 -1 2 A escolha a linha indicada A = Det A = 2 Det D = 68

Memória de aula Como se deve calcular um cofator? Como se calcula um determinante usando teorema de Laplace?

Bibliografia indicada http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/node52.html