Grafos Msc. Cintia Carvalho Oliveira Doutoranda em Computação – UFU Mestre em Computação - UFU Bacharel em Computação - UFJF

Conectividade Transitividades Conectividade Conexidade

Transitividade Se as relações Exemplo: relação “gosta de”: A e B e B e C são válidas, então A e C vale Exemplo: relação “gosta de”: A = marido B = esposa C = mãe da esposa Nem toda relação é transitiva!

Transitividade Se podemos ir de v a w, ou seja, w é atingível a partir de v e se x é atingível de w então x é atingível a partir de v. Relação de atingibilidade é transitiva.

Fecho transitivo Grafo não direcionado: Grafo Direcionado Conjunto dos vértices de um grafo alcançados por um dado vértice v. Esse conjunto é denotado por R(v) Grafo Direcionado Fecho Transitivo Direto: Atingível a partir de v. R+(v) -> descendentes de v Fecho Transitivo Inverso: Atingem v. R-(v)-> ascendentes de v.

Fecho Transitivo Direto

Grupo Conexo Um grafo é dito Conexo se para todo par de vértices i e j existe pelo menos um caminho entre i e j. Me um grafo não direcionado é possível fazer um percurso fechado (com repetição de vértices) que inclua todos os vértices.

Conexidade Ponte Algumas arestas ao serem retiradas aumentam o número de componentes conexas do grafo. Elas são denominadas pontes.

Conexidade em Grafos Direcionados

Conexidade em Grafos Direcionados Grafo não Conexo Existe ao menos um par de vértices que não é ligado por nenhuma cadeia (com ou sem orientação)

Conexidade Grafo Simplesmente Conexo: s-conexo: não considera orientação Qual o Fecho Transitivo de a? Qual o Fecho Transitivo Inverso de f?

Conexidade Grafo Semi-fortemente conexo: Sf-conexo Para cada par de vértives (v1, v2) existe um caminho de v1 para v2 ou de v2 para v1

Conexidade Grafo Fortemente conexo: f-conexo Para cada par de vértives (v1, v2) existe um caminho de v1 para v2 e de v2 para v1

Conectividade Aplica-se a Grafos Não Direcionados Indica quanto um grafo é mais conexo do que outro. Definição A conectividade k(G) de um grafo G =(V, E) é o menor número de vértices cuja remoção desconecta G ou reduz a um único vértice, o caso de um grafo completo onde k(G) = n-1

Conectividade Para grafos não completos haverá um par (v1, v2) de vértices não adjacentes, então tempos que: k(G) <= n-2 Limite superior para qualquer grafo K(G) <= delta(G) (grau de um GND)

Conectividade

Exercicio

Bibliografia http://www.vision.ime.usp.br/~noma/www-old/sh/introp.html http://www.dsc.ufcg.edu.br/~abrantes/CursosAnteriores/TG032/Aulas/Planaridade.pdf http://www.inf.ufrgs.br/~galante/wiki/lib/exe/fetch.php?id=inf01203&cache=cache&media=planaridade.pdf http://malbarbo.pro.br/arquivos/2013/5189/13-grafos-planares.pdf