GEOMETRIA ANALÍTICA

GEOMETRIA ANALÍTICA "Penso, logo existo". 1 - Introdução A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através de processos particulares , estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos . Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

Medida algébrica de um segmento PONTO Introdução    Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.    Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u: Medida algébrica de um segmento     Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos: A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.  

PLANO CARTESIANO ORTOGONAL O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. O termo ortogonal refere-se ao perpendicularismo entre os eixos. Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem. O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante.

Observe o plano cartesiano nos quatro quadrantes Exemplos: A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0) Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas. O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado. O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P. O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P. (x, y) é chamado de par ordenado do ponto P. Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas.

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados. O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante. O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x. O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante. O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante. O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante. O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.

Distância entre dois pontos    Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5): Solução:

Exercícios: 1. Dado o diagrama, determine as coordenadas dos pontos marcados no sistema cartesiano ortogonal abaixo:

2. Represente, no plano cartesiano ortogonal, os pontos: A(-1,4); B(3,3); C(2,-5); M(-2,-2); P(4,1); Q(2,-5); D(-2,0); H(0,1); K(5,0) 3. Responda: Quais são as coordenadas da origem? Qual é o ponto projeção de A(0,-4) sobre o eixo x? Em que quadrante se encontra o ponto A(-5,3)? E o ponto B(-5,-3)? Se um ponto A tem abscissa diferente de zero e ordenada nula, em que eixo o ponto se encontra? Se um ponto P está na bissetriz do 1° e 3° quadrantes, podemos dizer que as coordenadas são iguais?

A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta y = x. Bissetriz dos quadrantes ímpares A bissetriz dos quadrantes ímpares é determinada por uma reta que intercepta o ponto (0,0) traçando as bissetrizes dos quadrantes I e III. O coeficiente angular será igual a m = tg 45° = 1. Um dos seus pontos será (0,0) e todos os outros pontos pertencentes à reta b terão as ordenadas e abscissas iguais, por exemplo, (4,4), (5,5), (6,6), (7,7),... . A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta y = x.

Bissetriz dos quadrantes pares A bissetriz dos quadrantes pares é determinada por uma reta que intercepta o ponto (0,0) traçando as bissetrizes dos quadrantes II e IV. O coeficiente angular será igual a m = tg 135° = -1. Um dos seus pontos será (0,0) e todos os outros pontos pertencentes à reta b terão os valores das ordenadas opostos aos valores das abscissas, por exemplo, (4,-4), (5,-5), (6,-6), (7,-7),... . A bissetriz dos quadrantes pares é a reta y = -x.

Ponto médio    Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P,  que divide ao meio, temos: Assim: Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:

Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:

Baricentro de um triângulo    Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados , respectivamente. Portanto, são as medianas desse triângulo: a mediana de um triângulo é a reta que liga um vértice deste triângulo ao ponto médio do lado oposto a este vértice. As três medianas de um triângulos são concorrentes e se encontram no centro de massa, ou baricentro do triângulo.

Cálculo das coordenadas do baricentro Portanto, chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo. Cálculo das coordenadas do baricentro    Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vértices de um triângulo:

Condições de alinhamento de três pontos    Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então: Exemplo: Verifique se os pontos A(2,1), B(-3,-2) e C(4,5), estão alinhados: