Integração numérica

Primitive Se f(x) é uma função contínua em [a,b], então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja existe F(x) tal que F’(x)=f(x). Assim: Não é sempre fácil achar uma primitiva, existe ainda o caso em que f(x) é conhecida em apenas alguns pontos: uma forma de obter a integral é através de métodos numéricos.

Propriedades Para determinar primitivas, certas propriedades ajudam:

Pirmitivas conhecidas Além disso, existem primitivas conhecidas de algumas funções:

Propriedade Existem também, métodos: Integração por parte: Troca de variável:

Determinação de primitivas

Fórmula de Newton-Cotes Nas fórmulas de Newton-Cotes, em vez de integrar a função, integramos um polinômio interpolador. Com uma partição do intervalo [a,b] em subintervalos de comprimento h: [xi,xi+1], i=0,...,n, podemos escrever: Onde Ai, são coeficientes de acordo com o polinômio interpolador.

Regra dos trapézios Usamos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio de grau 1, p1(x) que interpola f em x0 e x1. Temos:

Regra dos trapézios A regra dos trapézios consiste em aproximar a integral da função no intervalo [a,b] com a area do trapézio delimitado pelos pontos (a,0), (b,0), (a, f(a)), (b,f(b)).

Regra dos trapézios repetida Para diminuir o erro cometido na aproximação da integral, podemos subdividir o intervalo inicial e aplicar a regra dos trapézios para cada subintervalo. Temos:

Regra 1/3 de Simpson No caso da regra 1/3 de Simpson, o polinômio escolhido para aproximar a função é o polinômio de Lagrange de grau 2. Temos:

Regra 1/3 de Simpson No caso da regra 1/3 de Simpson, a integral é aproximada pela integral da curva de segundo grau que interpola a função nos valores a, (a+b)/2 e b.

Regra 1/3 de Simpson repetida Como no caso da regra dos trapézios, para diminuir o erro cometido na aproximação da integral, podemos subdividir o intervalo inicial em n intervalos de mesmo comprimento. Para poder aplicar 1/3 de Simpson, a condição é que n seja par. Temos:

Erros cometidos O calculo de erro apóia-se sobre o erro conhecido dos polinômios de interpolação: Grau 1: Grau 2:

Erro cometido: caso grau 1 O erro cometido é a integral sobre o intervalo do erro cometido aproximando a função com o polinômio de grau 1: Podemos mostrar que:

Erro cometido: caso grau 1 No caso da regra dos trapézios repetida, temos:

Erro cometido: caso grau 2 No caso da regra de Simpson, podemos mostrar que: Que no caso repetido, da um erro:

Exemplo Calcular uma aproximação de I usando a regra dos trapézios e a regra 1/3 de Simpson. Avaliar os erros cometidos nos dois casos. Determinar m para ter um erro inferior a 10-3

Teorema geral do erro Seja f um função n+2 continuamente derivável. A integração numérica usando a fórmula de Newton-Cotes é: Se né impar: Se n é par: