Integral Autores: Sílvia Maria Medeiros Caporale João Paulo Rezende Karine Angélica de Deus Colaboradores: José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva

Uma ideia intuitiva do conceito de integral pode surgir de um procedimento simples, porém engenhoso, desenvolvido por Arquimedes na Grécia Antiga. O cálculo de áreas de figuras planas pode ser trivial, quando se trata de uma figura conhecida como um quadrado, por exemplo.

O problema é que em diversas situações temos que calcular áreas de superfícies totalmente irregulares como essa que vocês vêem. tão precisa quanto se queira.

? ? ? ? ? ? É possível fazer isso? ? ? ? ? ? ? Vocês acham que é possível fazer isso? Arquimedes resolveu esse problema, aproximando a área da figura irregular à soma de áreas de figuras conhecidas.

Arquimedes resolveu esse problema, aproximando a área da figura irregular à soma de áreas de figuras conhecidas.

Mas parece que nossa aproximação não é das melhores. No nosso exemplo, utilizaremos o quadrado. Sobrepondo diversos quadrados sobre a figura dada, podemos dizer que sua área se aproxima da soma das áreas de todos os quadrados inscritos na figura. Mas parece que nossa aproximação não é das melhores. No nosso exemplo, utilizaremos o quadrado. Sobrepondo diversos quadrados sobre a figura dada, podemos dizer que sua área se aproxima da soma das áreas de todos os quadrados inscritos na figura. Mas parece que nossa aproximação não é das melhores.

Porém, se reduzirmos o tamanho dos quadrados, podemos perceber que a aproximação fica um pouco, melhor. No nosso exemplo, utilizaremos o quadrado. Sobrepondo diversos quadrados sobre a figura dada, podemos dizer que sua área se aproxima da soma das áreas de todos os quadrados inscritos na figura. Mas parece que nossa aproximação não é das melhores.

Procedendo assim, sucessivamente, pode-se obter uma aproximação tão precisa quanto se queira. No nosso exemplo, utilizaremos o quadrado. Sobrepondo diversos quadrados sobre a figura dada, podemos dizer que sua área se aproxima da soma das áreas de todos os quadrados inscritos na figura. Mas parece que nossa aproximação não é das melhores.

Procedendo assim, sucessivamente, pode-se obter uma aproximação tão precisa quanto se queira.

Veremos adiante, o quanto esse procedimento pode nos ser útil para compreendermos a idéia intuitiva de Integral definida. Mas antes, vejamos um exemplo que norteará nossas discussões.

O ato de encontrar esse modelo, que pode ser uma equação ou uma função, se chama modelagem. Diversas situações cotidianas podem ser descritas através de uma relação ou modelo matemático. Imagine um carro, ao longo de uma estrada, se movendo com uma velocidade constante. Singapore Flyer, 165 metros de altura.

Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo,

Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo, podemos encontrar modelos, que descrevem a distância percorrida, analisando o comportamento da velocidade.

Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo, podemos encontrar modelos, que descrevem a distancia percorrida, analisando o comportamento da velocidade. Isolando o ∆S, teremos:

Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma velocidade, por .

Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro? Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma velocidade, por . Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro?

Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro? Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma velocidade, por . Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro?

Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro? Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma velocidade, por . Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro? Tempo (s) 1 2 3 4 Velocidade (m/s) 20 Logo, a distância percorrida por esse carro:

Vejamos o gráfico dessa situação...

Observe que a distância percorrida é exatamente a área da figura sob o gráfico, logo:

? ? ? ? ? ? E quando a velocidade não for constante? ? ? ? ? ? ?

É interessante analisarmos essa situação pois, normalmente os carros tem velocidades que variam de acordo com o tempo. Voltemos ao nosso exemplo: Imagine que depois dos quatro segundos, nosso carro aumente a cada instante de tempo sua velocidade em Tempo (s) 1 2 3 4 5 6 7 8 Velocidade (m/s) 20 24 28 32 36

Assim, a velocidade entre 4 e 8 segundos será dado pela expressão: Tempo (s) 1 2 3 4 5 6 7 8 Velocidade (m/s) 20 24 28 32 36 Assim, a velocidade entre 4 e 8 segundos será dado pela expressão:

Vejamos o gráfico dessa situação...

Observe que a distância percorrida é exatamente a área da figura sob o gráfico, logo:

? ? ? ? ? ? E se carro frear? O quê irá acontecer? ? ? ? ? ? ?

ou seja, como determinar ? ? ? ? ? Como calcular a distância percorrida, ou seja, como determinar a área sob o gráfico? ? ? ? ? ? ? ?

Área de um polígono inscrito.

Isto nos sugere fazer tender a largura dos retângulos a zero e assumir a área sobre o gráfico como um valor limite da soma das área . Vejamos:

Seja o número de subintervalos que dividimos ,ou seja , para nosso caso.

Dessa forma, a largura dos retângulos é dado por:

Podemos aumentar cada vez mais a quantidade de subintervalos (n) e assim, teremos que a área será o limite das aproximações da área quando os subintervalos (n) crescem sem parar.

Logo, a área sob a curva é dada por:

Integral definida

Resolver a Integral definida acima é encontrar uma função F(x) cuja derivada resulta na f(x), e substituir em F(x), x = b e x = a.

Voltemos a situação-problema do carro:

Sabe-se que o espaço percorrido é dado pela área sob a curva é essa por sua vez é calculada por: