ANÁLISE ESTATÍSTICA II Variáveis Variáveis discretas – São aquelas que caracterizam valores que podem ser contados. Ex.: Número de pessoas que acessam um caixa eletrônico em uma determinada data e horário. Exemplos de distribuição de probabilidades discretas Binomial Poisson Hipergeométrica

ANÁLISE ESTATÍSTICA II Variáveis contínuas – São aquelas que caracterizam um processo de medição, podendo assumir qualquer valor num intervalo contínuo. Ex.: Temperatura de uma peça Exemplos de distribuição de probabilidades contínuas Normal Uniforme Exponencial

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL Também chamada de distribuição de Gauss. É a distribuição contínua mais utilizada no estudo da estatística. Sua utilização se deve ao fato da maioria das variáveis serem poderem ser caracterizadas por sua distribuição e por poder ser utilizada para fazer aproximações para várias distribuições de probabilidades discretas.

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL Propriedades: Simétrica Apresenta um formato de sino Sua amplitude é infinita Suas medidas de tendência central são coincidentes, ou seja, média, mediana e moda É fortemente caracterizada por sua média μ e seu desvio padrão σ

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL Variando-se a média e o desvio padrão, obtém-se diferentes distribuições normais.

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL A variação da média μ desloca a distribuição para a direita ou para a esquerda. A variação do desvio padrão σ altera a amplitude da distribuição.

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL Onde X é qualquer valor no intervalo contínuo de −∞ a ∞.

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL O cálculo da probabilidade é feito através da área sob a curva da distribuição até o valor de X. Pela utilização da fórmula, o cálculo é feito através de uma integral definida desde −∞ até X

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL A probabilidade de qualquer valor individual é zero.

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL Etapas para cálculo da probabilidade normal: Transformar a variável aleatória (X) em variável aleatória normal padronizada, ou seja, calcular a diferença (Z) entre o valor de X e a média aritmética μ, expressando o valor em unidades de desvio padrão σ. Z= X−μ σ Z terá sempre μ = 0 e σ = 1

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL Ex.: Seja X normalmente distribuída, com média igual a 100 e desvio-padrão igual a 50. Calcule o valor de Z para X igual 200.

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL Ex.: Seja X normalmente distribuída, com média igual a 100 e desvio-padrão igual a 50. Calcule o valor de Z para X igual 200. O resultado significa que X = 200 está 2,0 desvios-padrão (2,0 incrementos de 50 unidades) acima da média 100

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL Função Densidade de Probabilidade Normal Padronizada: Onde Z é qualquer valor na distribuição normal padronizada (valores acima da média são positivos e valores abaixo da média são negativos

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL A área total sob a curva é 1, com metade desse valor acima da média e metade abaixo.

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL Tabela de distribuição normal padronizada A tabela irá fornecer a probabilidade de ocorrência do valor de Z, desde −∞ até Z, isto é, a área sob a curva desde −∞ até Z. Ex.: Calcular P(Z < 2).

ANÁLISE ESTATÍSTICA II

ANÁLISE ESTATÍSTICA II

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL EXERCÍCIOS: 1) Considere uma distribuição normal padronizada, com média aritmética igual a zero e desvio-padrão igual a um. Qual é a probabilidade de que Z seja menor que 1,59? Qual é a probabilidade de que Z seja maior que 1,68? Qual é a probabilidade de que Z esteja entre 1,59 e 1,68? Qual é a probabilidade de que Z esteja entre -1,59 e 1,68? Entre que dois valores de Z (simetricamente distribuídos em torno da média aritmética) estarão contidos 68,26% de todos os valores possíveis de Z?

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL 2) Considere uma distribuição normal padronizada. Qual é o valor de Z para uma probabilidade: menor que 95%? maior que 90%?

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL 3) Em um curso de Estatística, um conjunto de notas de provas finais foi considerado como normalmente distribuído, com uma média igual a 6,7 e um desvio-padrão igual a 1,8. Qual é a probabilidade de se obter uma nota maior do que 7,4 nessas provas? Qual é a probabilidade de se obter uma nota igual ou menor do que 9,0? Que percentagem de alunos tirou entre 5,3 e 8,9? Apenas 5% dos alunos que fizeram essas provas obtiveram pontuação mais alta de que nota?

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL 4) Considere uma distribuição normal, com média igual a 85 e desvio-padrão igual a 17. Qual é o valor de X para uma probabilidade: menor que 99%? maior que 80%?

ANÁLISE ESTATÍSTICA II DISTRIBUIÇÃO NORMAL 5) Os salários dos gerentes de bancos se distribuem normalmente, com média de $ 14.500 e desvio-padrão de $ 2.100. Qual é a percentagem de gerentes que recebem: menos de $ 12.350? entre $ 13.400 e $ 16.570?