Instituto de Sistemas e Robótica - Instituto Superior Técnico Análise Multiresolução em Detecção e Classificação de Sinais Transientes Francisco M. Garcia Instituto de Sistemas e Robótica - Instituto Superior Técnico

Organização da apresentação Descrição do problema. Problema de detecção e classificação clássico; caso estacionário e não estacionário; decomposição de Karhunen-Loève. Esquema de processamento em tempo real. Transformada wavelet discreta; parametrização de filtros. Escolha das famílias de wavelets, componentes principais e intervalo de amostragem; redução da complexidade computacional mantendo a qualidade do processador, distância de Chernoff. Exemplo. Conclusões.

Caracterização do problema e objectivos Sinais gaussianos de curta duração e passa-banda Ruído gaussiano e ruído impulsivo Ambiente multicaminho (acústica submarina) Baixa relação sinal-ruído Processadores em tempo real Avaliação da complexidade computacional dos processadores Avaliação de limites de desempenho

Sinal observado no receptor Ruído Sinal emitido por uma de entre várias fontes possíveis Sinal observado no receptor Canal + Sinal determinístico ou estocástico Canal conhecido ou desconhecido Distribuição do ruído conhecida Energia do sinal conhecida ou desconhecida

Classificador Bayesiano Dado um vector de observações X e um conjunto de hipóteses Hi , i=0,…,N-1, escolhe-se a hipótese Hk tal que P(Hk|X) > P(Hi|X), Caso de sinais gaussianos de média nula em ruído gaussiano: Hk > < Hi Em que depende apenas das probabilidades a-priori das hipóteses Hk e Hi e das respectivas matrizes de covâriancia. Para N hipóteses possíveis, existem combinações de testes para efectuar, embora seja apenas necessário efectuar N-1 cálculos quadráticos. De facto,

O processo X é em geral fortemente correlacionado e de elevada dimensão A cada li0 pode-se aplicar uma transformação linear Mi (H0 ruído branco): A transformação óptima no sentido de reduzir o número de coeficientes é a decomposição de Karhunen-Loève Os coeficientes obtidos pela DKL são incorrelacionados (matriz de covariância diagonal) Caso estacionário - a DKL é a série de Fourier Caso não estacionário - DKL diferentes para cada classe de sinais diferentes

Diagrama de blocos do detector binário Ts Td Filtro Passa-baixo ideal Processo de observação Memória dim = Nd Decomposição linear Tt Amostragem Redução de ordem dim = Nc Rácio de verosimilhança H1 < > H0 Limiar de comparação Decisão Teste de verosimilhança Nd - Comprimento dos vectores de decomposição Nc - Número de coeficientes de decomposição Ts - Intervalo de amostragem Td - Ritmo de decomposição Tt - Ritmo de execução dos testes de verosimilhança

Decomposição wavelet discreta H 2 H 2 H 2 cJ G 2 d1 G 2 d2 G 2 dJ H - Filtro passa-baixo G - Filtro passa-alto Propriedade de translação: seja TW[c0(n)] = [d1(n) d2(n) … dJ(n) cJ(n)]. Então, TW[c0(n-k2J) ] = [d1(n-k2(J-1)) d2(n-k2(J-2)) … dJ(n-k) cJ(n-k)]. Filtros equivalentes hjk e gjk cj(k) = <c0(n),hjk(n)> = <C0(W),Hjk(W)> dj(k) = <c0(n),gjk(n)> = <C0(W),Gjk(W)>

Desenho de filtros G e H de suporte compacto - H é Passa-baixo - G é Passa-alto - G e H são ortonormados HG*=0 - Condições de decomposição e reconstrução H*H + G*G = 1 - Outras restrições: regularidade, simetria, etc... => O desenho de filtros QMF com reconstrução perfeita (PR) para um determinado objectivo corresponde a um problema de minimização com restrições. Zou e Tewfik mostraram que todos os filtros de comprimento 2M são parametrizáveis por um conjunto livre de parâmetros qi, i=1,…,M-1.

Problema de optimização Objectivos: - Escolher o intervalo de amostragem, família de wavelets e no. de coeficientes de forma a reduzir ao máximo a complexidade computacional Restrições: - Garantir a qualidade do processador Complexidade computacional reduzida se: - Os Filtros de decomposição forem curtos - O número de coeficientes fôr pequeno - As matrizes de covariância forem esparsas Qualidade do processador: - Erro quadrático médio E[e2(t)]: Não é fiável - Ideal: Probabilidade de erro (computacionalmente incomportável) - Utilizada: Distância de Chernoff

Distância de Chernoff Válida para: - Matrizes definidas positivas - Processos decompostos na mesma base Permite obter limiares superior e inferior da probabilidade de erro:

Funcionais de optimização computacional da matriz de covariância i) Sejam E[(dij)2] os elementos da diagonal da matriz de covariância ii) Para uma determinada escala j: Seja Lij o instante médio do suporte de gij: em que

Algoritmo de optimização 1 - Encontrar Ts máximo (Tlim), tal que d(Cref,CTs) < e 2 - Para Ts < Tlim e para dim(G,H) = N0, calcular 3 - Com os parâmetros calculados em 2, calcular a matriz de coeficientes wavelets Cw equivalente a CTs 4 - Eliminar os termos menos importantes da diagonal de Cw, bem como os respectivos termos cruzados, enquanto d(Cref,Cw) < e 5 - Avaliar a complexidade computacional. se não fôr satisfatória, voltar a 2 e repetir para um valor diferente de dim(G,H).

Complexidade computacional Decomposição KL: - comprimento do sinal N - No. de vectores próprios P => (N+2)xP multiplicações no total (decomposição + forma quadrática) Transformada Wavelet: - Filtros G e H de comprimento L - Matriz com M elementos não nulos - Vector de coeficientes com K elementos - Decomposição entre as escalas J1 e J2 => Decomposição: multiplicações => Termo quadrático: M+K multiplicações Não é fácil optimizar os parâmetros directamente no número de multiplicações

Exemplo

Conclusões Para sinais transientes, de curta duração, de banda larga, a transformada wavelet traz vantagens computacionais comparativamente à decomposição de Karhunen-Loève. Os parâmetros do processador podem ser obtidos pela maximização de funcionais que utilizam os termos da diagonal da matriz de covariância A escolha do intervalo de amostragem influencia fortemente a carga computacional do processador. A família de wavelets, de suporte compacto, pode ser escolhida numa biblioteca de bases, ou optimizada através de uma parametrização sem restrições. A qualidade das aproximações efectuadas deve ser monitorizada. A distância de Chernoff é a medida adequada em problemas de detecção.