Amostragem/Reconstrução Amostragem impulsiva

Teorema de Amostragem Ou critério de Nyquist Notar que: Transformada de um pente de diracs é um pente de diracs: ) ( 2 f d p = W A reconstrução do sinal contínuo é possível desde que: O espectro do sinal amostrado é uma soma de réplicas do sinal continuo deslocadas na frequência.

Teorema de Amostragem Amostragem impulsiva Sem Sobreposição espectral (sem aliasing) Espectro do sinal contínuo Com Sobreposição espectral (aliasing) Espectro de uma sequência de diracs Amostragem

Aliasing Cos[(2-)n+]=Cos[-n+]=Cos[n-] 0<  para n inteiro Dois sinais analógicos diferentes têm a mesma representação digital: Cos[(2fA-2f) t + ] e Cos[2f t - ] Implica perca de informação a não ser que não seja possível encontrar alguns dos sinais referidos na entrada, nomeadamente se as frequências do sinal de entrada estiverem limitadas a fA/2.

Teorema de Amostragem Ou seja Se o sinal original estiver limitado a frequências inferiores a fA/2 é possível reconstruir o sinal original a partir do amostrado (com um filtro passa baixo) e não há perca de informação. Se o sinal não estiver limitado a frequências inferiores a fA/2 existem diversas frequências analógicas que correspondem á mesma frequência digital (aliasing), pelo que há perca de informação. Conclusão: não há perca de informação quando amostramos um sinal real analógico arbitrário com largura de banda B, se e só se fA >2B

Reconstrução Amostragem Reconstrução É possível através de um filtro passa baixo desde que não exista sobreposição espectral

Reconstrução Vale zero nos pontos correspondentes às restantes amostras Soma de Sincs

Frequência de amostragem Na prática, dependendo da aplicação, a frequência de amostragem deve ser maior do que 2B, por exemplo Fa=4B Tal permite filtros de reconstrução e de anti-aliasing menos selectivos, e mais fácil de implementar na prática.

Sub/Sobre-Amostragem Teorema da Amostragem ( B < (2/M)/2 ) Sub Amostragem: Redução da frequência de amostragem. Nota: não é, em geral, equivalente a amostrar a uma frequência superior Sobre Amostragem: Aumento da frequência de amostragem.

Processamento de Sinais contínuos Filtro Anti- Conversor Amostragem e Sobreposição de Analógico para retensão espectro Digital Processador Digital de Sinais Conversor Digital para analógico Filtro de reconstrução retenção de ordem zero

Relação entre a DTFT e FT A DTFT resulta da Transformada de Fourier quando consideramos o sinal no tempo formado por uma série de diracs

Relação entre a DTFT e FT A FT também pode ser derivada da DTFT quando o intervalo de amostragem tende para zero!

Resposta em Frequência O processamento de sinais contínuos através de sistemas discretos (digitais) conduz a sistemas que são apenas aproximadamente invariantes no tempo! Frequência normalizada No entanto quando podemos aplicar o critério de Nyquist: ) ( f H X Y R A s = ÷ ø ö ç è æ a 2 π ω j H(e

Aproximação de invariancia no tempo Os sistemas de Processamento digital de sinais contínuos são apenas aproximadamente invariantes no tempo: Os sinais devem estar dentro do limite de Nyquist limitados pelos filtros de anti-aliasing ou de reconstrução. Tal pode implicar duas coisas: Que o atrasos do filtro é consideravelmente maior que o período de amostragem. Para filtros muito selectivos o atraso será grande. Se os filtros não forem muito selectivos então o sinal fora da banda é reflectido para dentro da banda resultando em ruído de medição. Os filtros utilizados na prática dependem da aplicação. Os sinais variam lentamente quando comparados com o período de amostragem

Exemplo: Implementação de um Atraso Fraccionário Atraso Fraccionário: Um atraso que não é múltiplo da frequência de amostragem. nT Assumindo filtros de anti-aliasing e de reconstrução ideais: O que corresponde a um impulso para atrasos inteiros, e a um sinc amostrado para atrasos fraccionários. Notar que é possível facilitar muito a implementação se não se exigir a correspondência ao atraso em toda a banda. 5 10 15 20 -0.5 0.5 1

Modelação e desmodelação Sinal digital DSP D/A Canal A/D Filtro de reconstrução Filtro anti-aliasing Sinal digital

Retenção de ordem zero (ZOH) Amostragem e Retenção A reconstrução é muitas vezes efectuada utilizando retentores de ordem zero. Amostragem Retenção de ordem zero (ZOH)

ZOH ZOH Saída é convulsionada, Se necessário o efeito pode ser eliminado pre-filtrando o sinal por um filtro cuja função de transferência seja a inversa deste na banda de passagem! Sinal digital ZOH Ex: Fa = 400 Hz B = 80 Hz resultado

Amostragem de Sinais Passa-banda Sinal Real Replicando separadamente as frequências positivas e negativas B Amostragem para certos valores da frequência central e da largura de banda (tal como na figura) Distância entre réplicas: 2B = Fa Para sinais complexos temos Fa>B! Em qualquer caso é pelo menos necessário que Fa>2B