MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) César Augusto

Por que estudar... Possibilita construir um modelo de movimento que pode ser utilizado em diversas situações concretas. Permite conhecer e prever uma grande quantidade de movimentos oscilatórios. Permite modelar microscopicamente o movimento de átomos e moléculas. Faz com que se compreenda de que maneira dispositivos tais como sistemas massa-mola e pêndulo simples realizam movimentos periódicos e suas diversas aplicações tecnológicas.

1. INTRODUÇÃO Body Mass Measuring Device (BMMD), o Aparelho de Medida de Massa Corpórea (AMMC) projetado pela NASA para monitorar a perda de massa de seus astronautas em microgravidade. Foto retirada do site da NASA. É possível medir a massa de uma pessoa utilizando-se apenas um cronômetro? Como medir a massa de um astronauta?

(A) MOVIMENTO OSCILATÓRIO ou VIBRATÓRIO Oscilações (vibrações) são fenômenos físicos muito comuns na natureza. Os carros oscilam para cima e para baixo quando passam num buraco, os edifícios e pontes vibram quando caminhões pesados trafegam nas suas proximidades ou quando o vento sopra forte. As asas de um beija-flor realizam um movimento vibratório que se repete de 80 vezes por segundo. Os pistões do motor de carro ficam acoplados em um eixo comum e realizam um movimento oscilatório. A alavanca de oscilação transforma um movimento circular num movimento oscilatório regular.

Um movimento é considerado oscilatório quando um corpo realiza um movimento de vai-e-vem em torno da sua posição central, denominada posição de equilíbrio estável. Ex. Oscilador massa-mola O O posição de equilíbrio

(B) MOVIMENTO PERIÓDICO É todo movimento que se repete em intervalos de tempo iguais. Ex: O movimento de translação e rotação da Terra; Movimento Circular Uniforme (MCU)

O tempo necessário para o móvel percorrer uma volta completa, chama-se período (T) do movimento. Ou seja, período é o intervalo de tempo necessário que o movimento complete um ciclo inteiro.

Num fenômeno periódico, chama-se frequência (f) o número de vezes em que o fenômeno se repete na unidade de tempo. Matematicamente, pode-se mostrar que as duas grandezas se relacionam pela expressão:

Relações entre as unidades de T e f: Período (T) Frequência (f) s RPS (hertz – Hz) min RPM h RPH 60 RPM = 1 RPS = 1 Hz “1Hz é a frequência do movimento periódico que executa 1 volta completa a cada 1s”.

GRANDEZAS RELEVANTES DE UM mhs (C) MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) É todo movimento retilíneo, oscilatório e periódico. Ex. Pêndulo Simples (pequenas oscilações) & Oscilador massa-mola GRANDEZAS RELEVANTES DE UM mhs Amplitude ( A) – deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio produzido pela oscilação.

pulsação () – está relacionada a rapidez de oscilação do movimento. No S.I.: []  rad/s Dependência de ω: Depende da massa oscilante; Não depende da amplitude de vibração.

Elongação (x)  qualquer posição ocupada durante a oscilação Elongação (x)  qualquer posição ocupada durante a oscilação. No ponto de equilíbrio: x = 0; nas extremidades: x =  A (amplitudes). Graficamente: X +A -A t

Pausa para testes: 1. Um motor executa 600RPM. Determine sua frequência, em hertz, e seu período, em segundos. 2. Uma lâmina flexível está presa perpendicularmente a um suporte, de acordo com a figura. Uma pessoa puxa a extremidade livre da lâmina, soltando-a em seguida, e a lâmina começa a vibrar.

Caso a lâmina demore 4s para realizar 2 oscilações completas, qual é a sua frequência em Hz e em RPM? Considerando o item anterior, qual é o período do movimento em segundos? Calcule, em rad/s, a pulsação de vibração da lâmina.

3. Um corpo está preso ao teto de uma sala por meio de uma mola ideal, que está em equilíbrio; isto é, imóvel. Uma pessoa puxa o corpo para baixo, deslocando-o 10cm de sua posição de equilíbrio. Sem a ação de forças de atrito, o corpo começa oscilar, realizando 30 oscilações em 15s. Pergunta-se:

Identifique a força responsável pelo movimento oscilatório realizado pelo corpo após o puxão. Calcule o período, em segundos, do movimento descrito pelo corpo. Calcule a frequência do movimento, em Hz e em RPM, e a pulsação em rad/s. Calcule a amplitude do movimento e o comprimento da trajetória.

4. Uma partícula realiza um MHS, cujo gráfico da elongação x em função do tempo t está representado abaixo. Determine, em unidades SI, para esse MHS: a) o período e a frequência do movimento; b) a pulsação.

ESTUDO DO OSCILADOR HARMÔNICO MASSA-MOLA

2. DINÂMICA DO OSCILADOR MASSA-MOLA 𝒂 𝑭 m: massa do oscilador K: constante elástica da mola A: amplitudes de oscilação 𝑭 : força elástica restauradora 𝒂 : aceleração do MHS : pulsação T: período do oscilador Pela 2ª Lei de Newton: |𝐹 | = m∙| 𝑎 |  ma = -Kx  a= − K∙x m Importante: “K” e “m” são valores constantes do oscilador. Pode-se mostrar que a razão 𝐾 𝑚 é igual a ². Assim: 𝐚=− 𝛚 𝟐 𝐱

− ²x = − K∙x m   = 𝐾 𝑚  2f = 𝐾 𝑚 f= 1 T Desta forma: − ²x = − K∙x m   = 𝐾 𝑚  2f = 𝐾 𝑚 f= 1 T  T = 2 𝑚 𝐾 (período do oscilador massa-mola) Este resultado tem inúmeras aplicações. Dentre elas, destaca-se o dispositivo para medida de massa corpórea dos astronautas. Em condições de microgravidade o organismo e o corpo do ser humano sofre bastante perda de massa, e é por isso que a NASA monitora periodicamente essa perda de massa de seus astronautas.

Foto retirada do site da NASA Foto retirada do site da NASA. Mostra uma astronauta no BMMD executando as oscilações. O sistema astronauta + BMMD é o já conhecido sistema massa-mola também conhecido como Oscilador Harmônico. O movimento realizado pelo sistema é um movimento harmônico simples (MHS).

Movimento Harmônico Simples é um movimento periódico de um corpo em torno de um ponto de equilíbrio quando submetido a uma força restauradora. A aceleração desse movimento é dirigida para a posição de equilíbrio, e sua intensidade é proporcional à distância em relação à posição de equilíbrio.

3. DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA (EM) NO OSCILADOR MASSA-MOLA A Energia Mecânica pode ser dividida em duas partes: A energia cinética EC, associada à velocidade “V” do corpo massivo “m” e a energia potencial elástica Epe associada à posição “x” da mola de constante elástica “K”. A -A

4. Pêndulo Simples O pêndulo simples é um instrumento que consiste num objeto que oscila em torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos alternados em torno da posição central, chamada posição de equilíbrio. O período T do pêndulo simples independe da massa m do corpo massivo, dependendo apenas do comprimento do fio L e da aceleração da gravidade g. 

Uma das aplicações mais comuns de um pêndulo é seu uso para regular o funcionamento de um relógio, em virtude de seu período manter-se invariável, sob determinadas condições. A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei. Pausa para teste: Pense no que ocorrerá com o período pendular se: Variarmos o comprimento (mantendo-se a gravidade constante) e; Variarmos a gravidade local (mantendo-se o comprimento da corda constante).

5. RELAÇÕES DO MCU COM MHS Enquanto uma partícula descreve um MCU, sua projeção descreve um MHS. Equação da elongação (posição)

Equação da velocidade Equação da aceleração

X +A -A t V t +A -A elongação velocidade a t +²A -²A aceleração