ESTATÍSTICA II

INFERÊNCIA: população e amostra como selecionar uma amostra amostragem aleatória simples distribuições amostrais: da média da proporção do n. de ocorrência ESTIMAÇÃO: Intervalo de Confiança TESTE DE HIPÓTESE: da média

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA      Operação que consiste em, tomando por base amostras estatísticas, efetuar generalizações.   Fazer afirmações sobre características de uma população, baseando-se em resultados de uma amostra

PRINCIPAIS TIPOS DE PESQUISAS:  CENSOS Coletam informações sobre TODAS as unidades da população.  PESQUISAS AMOSTRAIS Coletam informações sobre uma PARTE (AMOSTRA) da população. ↓ Inferência

Inferência estatística ; incerteza sempre presente Inferência estatística ; incerteza sempre presente. Se o experimento foi feito de acordo com certos princípios, essa incerteza pode ser medida.   Uma função da estatística é fornecer um conjunto de técnicas para fazer inferências e medir o grau de incerteza destas inferências. A incerteza é medida em termos de probabilidades!

AMOSTRA – O CONCEITO . . . Fatos no cotidiano: -Você não precisa comer o bolo todo para saber se está gostoso O cozinheiro verifica o tempero de um prato que está reparando; Testar temperatura de um prato de sopa; Médico detecta as condições de um paciente através de exames de sangue, etc.

Estatística II TEORIA DA AMOSTRAGEM  Determina a relação entre a amostra e a população São consideradas duas dimensões: Tamanho e Composição da amostra

Estatística II COMO OBTER GRANDEZAS DESCONHECIDAS? A partir da análise de dados  Média; Variância; Etc. COMO DIZER SE AS DIFERENÇAS AMOSTRAIS SÃO CASUAIS OU VERDADEIRAS? Testes de significância Testes de Hipóteses COMO OBTER AS RESPOSTAS:  A partir da estatística amostral ou Inferência

Composição da Amostra a) Métodos Probabilísticos Exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem a mesma probabilidade. Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre população a partir do conhecimento da amostra.

Tipos de Amostragem Aleatória Simples Sistemática Estratificada Conglomerados ou Agrupamento

AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES É um tipo de amostragem que utiliza uma técnica probabilística. A característica principal é que todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer á amostra. Na prática a amostragem aleatória simples pode ser realizada numerando-se a população de 1 a N e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes a amostra.

Exemplo: Vamos obter uma amostra representativa, de 10 % dos valores, para obtermos a estatura média de noventa alunos de uma escola: - Numeramos os alunos de 01 a 90 - Escrevemos os números, de 01 a 90, em pedaços iguais de um mesmo papel, colocando-os dentro de uma caixa. Agitamos sempre a caixa para misturar bem os pedaços de papel e retiramos, um a um, nove números que formarão a amostra.

AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA Quando os elementos da população já estão ordenados, não há necessidade de construirmos um sistema de referência, para selecionarmos a amostra. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, uma linha de produção, os nomes em uma telefônica, etc.

Nestes casos a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. Consideremos uma população, com elementos ordenados, de tamanho N e dela tiramos uma amostra de tamanho n, através de uma amostragem sistemática, da seguinte maneira:

- Definimos FS como fator de sistematização, dado por : FS = N/n. - Sorteamos um número entre 1 e FS. Esse número, m, que será o primeiro elemento da amostra. - O segundo elemento da amostra é o de número FS + m. - O terceiro elemento da amostra é o de número 2FS + m. - O k-ésimo elemento da amostra é o número (k – 1)FS+m

Uma rua contém 1000 prédios, dos quais desejamos obter uma amostra sistemática formada por 100 deles. FS = 1000/100 = 10 m será um número entre 1 e 10. Vamos supor que m=7. Então temos: 1º elemento da amostra = (1 – 1) 10 + 7 = 7 >>> 7º elemento da população. 100º elemento da amostra = (100 – 1) 10 + 7 = 997 >>> 997º elemento da população.  Vamos criar uma outra situação onde o método sistemático seja eficiente?

AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA   Muitas vezes a população se divide em subpopulações >> estratos. Como é provável que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos. É isso que fazemos quando empregamos a amostragem proporcional estratificada, que, além de considerar a existência dos estratos, obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos dos mesmos.,

EXEMPLO Dada a população de 50.000 operários da indústria automobilística, selecionar uma amostra proporcional estratificada de 5% de operários para estimar seu salário médio. Usando a variável critério “cargo” para estratificar essa população, e considerando amostras de 5% de cada estrato obtido, chegamos ao seguinte quadro:  

CARGO POPULAÇÃO 5% AMOSTRA Chefes de seção 5.000 5(5.000)/100 = 250 250 Operários especializados 15.000 5(15.000)/100 = 750 750 Operários não especializados 30.000 5(30.000)/100 = 1.500 1.500 TOTAL 50.000 5(50.000)/100 = 2.500 2.500

AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS Neste tipo de amostragem a população total é subdividida em várias partes relativamente pequenas (normalmente homogêneas), e algumas dessas subdivisões, ou conglomerados, são selecionadas ao acaso, para integrarem a amostra global.

EXEMPLO   Suponhamos que o reitor de uma universidade deseja saber o que os membros dos centros acadêmicos acham de um novo regulamento. Ele pode obter uma amostra por conglomerado entrevistando alguns ou todos os membros de alguns centros acadêmicos escolhidos ao acaso.

Composição da amostra b) Métodos Não Probabilísticos São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população. Tipos de Amostragem : Aleatória Acidental Intencional Por Quotas

Amostras com ou sem reposição Com Reposição Cada elemento pode ser escolhido mais de uma vez (comprador - passageiro)  Sem reposição Cada elemento só pode ser escolhido uma vez (eleitor - renda per capita)

População Finita Infinita Número reduzido Amostra sem reposição (bolas de uma urna no bingo) Infinita Número muito grande ou ilimitado Amostra com reposição Amostra finita muito grande (cara/coroa com uma moeda)

Distribuição Amostral Considerar todas as amostras de tamanho n indivíduos que podem ser retiradas da população (com ou sem reposição). Para cada amostra calcular um parâmetro estatístico (média, desvio padrão etc.)

Distribuição Amostral Obtém-se uma distribuição dos parâmetros das amostras (distribuição amostral da média etc.)  Para cada distribuição podem ser calculados Média Desvio padrão Etc. Parâmetros da Distribuição Amostral

Distribuição Amostral Distribuição amostral das médias  Todas as amostras de tamanho n (sendo n < N População = N ) Sendo  a média e  o desvio padrão (da população)  Sendo  x a média e  x o desvio padrão (da distribuição amostral)

Distribuição Amostral Distribuição amostral das médias Sem reposição / População finita

Distribuição Amostral Distribuição amostral das medias com reposição / População infinita

Distribuição Amostral Distribuição amostral das médias observação : Se n é grande ( n>=30) Dist. amost. é normal para qualquer população Se n é pequeno ( n<30) Dist. amost. é normal se a população é normal

Distribuição Amostral Distribuição amostral das proporções observação : Todas as amostras de tamanho n (N População =  ) Sendo P a proporção de eventos de sucesso Sendo Q a proporção de eventos de não sucesso (na população) Exemplo: cara ou coroa P = ½ Q = ( 1 - ½ ) = ½ (na população)  

Distribuição Amostral Fórmula: Obs: se n é grande (n>=30) a distribuição amostral das proporções é normal

Distribuição Amostral Distribuição amostral da diferença ou soma Se temos duas populações Pop1 e Pop2   Se temos amostras independentes   N1 retirada de Pop1 não depende de N2 N2 retirada de Pop2 não depende de N1

Distribuição Amostral Distribuição amostral da diferença ou soma Se temos muitas amostras de tamanho n1 retiradas de Pop1 Se temos muitas amostras de tamanho n2 retiradas de Pop2 Se calculamos uma grandeza estatística S1 a partir de cada amostra n1 Se calculamos uma grandeza estatística S2 a partir de cada amostra n2

Distribuição Amostral Distribuição amostral da diferença ou soma Produzimos uma distribuição amostral de S1 com S1 e S1   Produzimos uma distribuição amostral de S2 com S2 e S2

Distribuição Amostral Distribuição amostral da diferença ou soma Se consideramos S1 - S2 teremos uma distribuição amostral da diferença Com (S1 - S2) = S1 - S2 e (S1 - S2) = S12 + S22 Se consideramos S1 + S2 teremos uma distribuição amostral da soma  Com (S1 + S2) = S1 + S2 e (S1 + S2) = S12 + S22

Distribuição Amostral Valem para as médias, proporções e outras grandezas estatísticas    Se n1 >= 30 e n2 >= 30   A distribuição amostral da + ou da - é Normal

Teoria Estatística da Estimação   O último tópico da teoria da amostragem mostra que: - Conhecida a população Podemos informar a amostra Interessa o Inverso : - A partir da amostra -inferir a população - Inferência estatística - Estimação de parâmetros populacionais (a partir da estatísticas das amostras) (média, variância, desvio padrão etc.)

Estimativas Imparciais   SE   Média da distribuição Amostral de uma estatística = Parâmetro populacional correspondente. ENTÃO A estatística considerada é chamada de ESTIMADOR IMPARCIAL (estimativa imparcial) do parâmetro populacional

Estimativas Imparciais Caso em Contrário   A estatística considerada é chamada de ESTIMADOR PARCIAL (estimativa parcial) do parâmetro populacional    O estimador parcial é dependente de algum parâmetro que deve ser considerado para garantir nossas afirmações.

Estimativas Imparciais Se - duas distribuições amostrais de duas estatísticas tem a mesma média (ou esperança matemática) a estatística de menor variância é chamada de estimador eficiente ( estimativa eficiente) A outra – é chamada de estimador ineficiente( estimativa ineficiente)

Estimativa por ponto e por intervalo A estimativa de um parâmetro populacional dada por um número único é chamada de estimativa por ponto ex: a média é 5,28 Quando dada por dois números entre os quais pode-se considerar que ela esteja, é chamada de estimativa por intervalo ex: a média esta entre 5,24 e 5,32 ou 5,28 + ou – 0,04 onde o erro 0,04 é chamado de fidedignidade.

Questões Comuns em Negócios Como estimar os parâmetros de um novo mercado com base numa simples amostra? Qual a confiança neste resultado? Como se amostrar?

Inferência Estatística Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra

Estimação da proporção Tamanho da amostra Amostragem Conteúdo Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra Amostragem

População x Amostra 1 2 : média : desvio-padrão 3

Exemplo Uma pesquisa nos bancos de dados de um call-center mostrou que, em 121 chamadas amostradas, a venda média foi de R$ 700, com desvio padrão de R$ 100. Como estimar a venda média deste negócio? Resp: intervalo de confiança da média

Intervalo de confiança da média 2,58 99% 1,96 95% 1,65 90% Z GRAU DE CONFIANÇA

Repetir para confiança de 90% e 99% Solução do exemplo Repetir para confiança de 90% e 99%

Comentários Interpretação da confiança Confiança x tamanho do intervalo Validade da fórmula: População normal Amostra grande (n>=30) ou desvio padrão populacional conhecido para amostras pequenas (n<30) Amostragem representativa

Amostras Pequenas (n<30) – Desvio Padrão Populacional desconhecido Exemplo Testes de uma nova droga em 10 pacientes revelou um aumento médio de pressão sangüínea de 2,25, com desvio-padrão de 0,95. Qual deve ser o intervalo de confiança para 95%? Resp: distribuição t ao invés da normal (z)

Solução do exemplo Valor de t = 2,262; (n-1=9, /2=2,5%)

Estimação da proporção Tamanho da amostra Amostragem Conteúdo Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra Amostragem

Estimação de proporção Casos mais comuns Market-share Índice de audiência Índice de reclamações Eleitores de certo partido

Exemplo Uma pesquisa de mercado com 90 consumidores mostrou que o market-share de sua empresa é de 25%. Como estimar o market-share do mercado, com 95% de confiança?

Fórmula aplicada 

Repetir p/outros níveis de confiança Solução do exemplo Repetir p/outros níveis de confiança

Comentários Validade da fórmula Tamanho da amostra suficiente para o intervalo (p + 3) não conter 0 ou 1. Amostragem representativa

Estimação da proporção Tamanho da amostra Amostragem Conteúdo Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra Amostragem

Tamanho da Amostra (n) para Estimativa da Média E: Erro de Estimação (semi-amplitude); vide cálculo do intervalo de confiança (x-E)___________(x)___________(x+E)

Exemplo de Tamanho da Amostra (n) para Estimativa da Média Volta ao exemplo do call-center (média R$700, devio-padrão R$100, 95% confiança) E: R$ 10 Erro de Estimação (semi-amplitude); (690)___________(700)___________(710)

Tamanho da Amostra (n) para Estimativa da Proporção E: Erro de Estimação (semi-amplitude); vide cálculo do intervalo de confiança (p-E)___________(p)___________(p+E)

Exemplo de Tamanho da Amostra (n) para Estimativa da Proporção Volta ao exemplo do market-share (p=0,25, 95% confiança) E: 2% Erro de Estimação (semi-amplitude); (23%)___________(25%)___________(27%)

Estimação da proporção Tamanho da amostra Conteúdo Estimação da média Estimação da proporção Tamanho da amostra

TESTE DE HIPÓTESES É uma técnica para fazer inferência Objetivos: A partir de uma amostra fazemos inferência sobre a população Objetivos: Formular hipótese quanto ao valor de um parâmetro POPULACIONAL Fazer um teste que indicará a aceitação ou rejeição da hipótese

CONCEITOS Hipótese Estatística Testes de Hipótese Tipos de Hipóteses Suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional Testes de Hipótese Regras de decisão Tipos de Hipóteses Ho: hipótese a ser testada – chamada hipótese nula H1: hipótese alternativa

CONCEITOS (cont...) Tipos de Erros OBS: Tipo I – Rejeição de uma hipótese Ho verdadeira Tipo II – Aceitação de uma hipótese Ho falsa OBS:

Exemplos de tipos de hipóteses:

Gráficos correspondentes aos exemplos anteriores: RRHo RRHo RAHo RAHo Unilateral à esquerda Bilateral RRHo RAHo Unilateral à direita

Onde... RAHo: Região de Aceitação de Ho RRHo: Região de Rejeição de Ho

Testes Teste de Médias Teste de Proporções Teste de Igualdade de Médias Teste de Igualdade de Proporções

Como proceder nos testes??? Formular as hipóteses Ho e H1 Fixar o nível de significância Usar as tabelas estatísticas Calcular a fórmula do teste Aceitar ou rejeitar as hipóteses

Teste de Médias Usar a tabela t-Student (n-1 graus de liberdade) Fórmula do teste:

Exemplo1 (teste de média...) Historicamente temos um registro médio de 115 pontos em um teste vocacional para alunos de uma escola. Este ano foi feito teste para uma nova turma e numa amostra de 25 alunos observou-se uma média igual a 118 com desvio-padrão igual a 20. Podemos afirmar com 5% de significância que a média da população é a mesma dos anos anteriores?

Solução....

Solução (cont...) Achar os valores tabelados (t-Student) n-1 graus de liberdade (25-1=24)..... 1,711 Fazer o gráfico correspondente Concluir....

UAU....

Exemplo 2: Para uma amostra de 51 firmas tomadas de uma particular indústria, o número médio de empregados por firma é de 420,4 com um desvio-padrão amostral de 55,7. Antes que os dados fossem coletados, foi feita a hipótese de que o número médio de empregados por firma, nesta indústria, era no máximo de 408. Testar esta hipótese com 5% e 1% de significância.

Exemplo 3: Uma agência publicitária afirma que as propagandas feitas por ela nos últimos meses têm rendido em média R$9.000,00 mensais de lucro. Um dos gerentes desta agência extraiu uma amostra encontrando um rendimento médio de R$8.000,00, com desvio padrão amostral de R$1.000,00, com base em 51 propagandas feitas. Faça o teste de hipóteses adequado com 5% e 1% de significância.

TESTE DE PROPORÇÕES Usar a tabela normal reduzida Z Fórmula do teste:

OBSERVAÇÕES... O procedimento para resolução de problemas de testes de hipóteses é sempre o mesmo para qualquer tipo de teste. As únicas coisas que mudam são: fórmula do teste e tabela a utilizar.

Exemplo (teste Proporção) Numa cidade a taxa de mortalidade indica que 60% dos nascidos vivem até os 65 anos. Numa amostra com 1000 nascidos verificou-se que 530 sobreviveram até 65 anos. Podemos afirmar que a proporção de sobreviventes até 65 anos é igual a 60%, com 5% de significância? E com 1%?

Resolução...

Resolução (Cont...) Encontrar os valores tabelados Fazer os gráficos Tirar conclusões...

Exemplo 2 (proporção) Uma pesquisa conclui que 90% dos médicos recomendam aspirina a pacientes que têm filhos. Teste a afirmação, com 5% e 1% de significância, contra a alternativa de que a percentagem é inferior a 90% se, numa amostra aleatória de 100 médicos, 80 recomendam aspirina.

Exemplo 3 (proporção) Uma agência publicitária afirma que 40% das pessoas que passam por umdeterminado local observam uma campanha publicitária estampada num outdoor (neste mesmo local). Foram entrevistadas 80 pessoas que passavam por esse local e, 25 pessoas responderam que observavam o outdoor. a)      Teste a afirmação da agência, com 5% de significância. b)   Teste a afirmação da agência, com 5% de significância, contra a alternativa de que a percentagem é inferior a 40%.

TESTE DE IGUALDADE DE MÉDIAS Usar a tabela normal reduzida Z Fórmula do teste:

Exemplo (igualdade de Médias) Um fabricante de pneus fabrica dois tipos (A e B) onde o desvio-padrão de A é de 2500km e o de B é 3000km de vida útil. Foram testados 50 pneus do tipo A apresentando vida útil média de 24000km, e testados 40 pneus do tipo B apresentando vida útil média de 26000km. Podemos afirmar com 4% de significância que a vida útil média dos pneus A e B é a mesma?

TESTE DE IGUALDADE DE PROPORÇÕES Usar a tabela normal reduzida Z Fórmula do teste:

Exemplo (igualdade de proporções) Uma revista foi lida por 200 homens e 70 deles se lembraram de uma certa propaganda. Essa mesma revista foi lida por 180 mulheres e 50 delas se lembraram dessa propaganda. Será que podemos dizer com 10% de significância que as proporções de homens e mulheres que se lembraram da propaganda são iguais?

Um fabricante deseja saber se um revestimento especial aplicado as placa de licenciamento de veículos lhes aumenta a resistência à ferrugem. Distribui-se 20.000 placas tratadas juntamente com 20.000 placas não tratadas. Uma amostra aleatória das placas tratadas, extraídas um ano depois, indica que, de 400, 360 estão em estado perfeito, enquanto que de uma amostra de 225 placas não tratadas, 195 estão em ótimas condições. Pode-se concluir que as placas tratadas são superiores as não tratadas?

Um fabricante de doces afirma que o percentual de sacos de pastilhas mal cheios é inferior a 3%. Uma pesquisa acusa 4 sacos mal cheios em 50. A amostra foi extraída de uma remessa de 400 sacos. A evidencia amostral refuta a alegação do fabricante?

Regressão Linear Simples Revisão: A R E T A

Equação da reta: y = a x + b

Revisão : A reta Equação da reta: y = a x + b a : coeficiente angular Mostra a variação de Y para cada unidade de variação de X É a tangente do angulo da reta Quanto maior “a” mais inclinada é a reta Se “a “ é positivo ---> reta crescente Se “a ” é negativo --> reta decrescente Se “a” é zero.........Y não depende de X -->.reta é paralela ao eixo X ...na altura do valor b !! b : coeficiente de intersecção ou intercepto

Situação Como estimar o faturamento de um negócio com base em seu investimento em publicidade?

Regressão Linear Simples

Regressão Linear Simples Modelos Probabilísticos Ajuste do Modelo Hipóteses do Modelo Análise de Validade do Modelo

Modelos Probabilísticos Devido aleatoriedade de várias fontes, pode-se assumir que o valor da grandeza de interesse será composta de uma parte determinística e de um erro. No exemplo do faturamento, teremos: Receita = a + b.(Investimento) + erro

Modelos Probabilísticos Linha de Regressão Erro aleatório

(x3,y3) Erro 3 Erro 4 (x1,y1) (x4,y4) Erro 1 Erro 2 (x2,y2)

Modelos Probabilísticos Forma geral para regressão linear simples intercepto Erro Variável Dependente (Resposta) Variável Independente (Explicativa) Inclinação

Interpretação de cada parcela Intercepto: valor de y para x=0 Inclinação: acréscimo em y para cada unidade de x Curva ajustada (mínimos quadrados) Validade apenas no range dos dados

Hipóteses do Modelo A distribuição do erro possui média zero A variância do erro é constante. A distribuição do erro é normal Os valores do erro são independentes dos y observados

Visualização das hipóteses f(e) Distribuição de probabilidade do erro Y X2 X1 X Linha de Regressão

Coeficientes de Correlação ( r) e de Determinação (r2) Y r = +1 r2 = 1, Y r = -1 X X r2 = .8, r = +0.9 r2 = 0, r = 0 Y Y X X

Coeficientes de Determinação (r2) Indica o poder de explicação do modelo em %. Em outras palavras, o modelo de regressão capturou 100.(r2)% da variação da variável de interesse.

Análise de Validade do Modelo O modelo linear vale? Há chance da inclinação ser zero? Duas formas de se verificar: Valor de t (ou sua p); ou Intervalo de confiança p/ inclinação

Exercício Suponha que uma farmácia (ou supermercado, ou disk-qualquer coisa) tenha um site para entregas a domicílo, e fez um levantamento de quanto gastaram 32 de seus clientes durante certo período. Ela deseja saber se este gasto depende da distância do domicílio ao ponto de venda e se obedece uma relação linear:

Exercício Buscamos saber se existe uma relação y = ax + b +  onde Y = consumo médio mensal (R$) (variável dependente) X= distância do cliente ao pto de venda (variável independente)  = Erro aleatório

Situação O Conselho de Administração está preparando o Planejamento Estratégico para o ano seguinte e precisa de uma previsão de demanda. Sabendo que você tem acesso ao banco de dados da empresa com as vendas dos anos anteriores, como proceder ?

Modelos de Séries Temporais São utilizados quando a única informação disponível são as observações ao longo do tempo. Tipos de modelos de série de tempo: Modelos de Média Móvel Modelos de Exponencial Atenuadora Modelos de Regressão Modelos com Sazonalidade

Modelos de Média Móvel

Modelos de Extrapolação de tendências 2001 431.331 Produção de Soja= -88.558.808,17 + 44.472,83*ANO

Modelo de Série Temporal Multiplicativo Usado normalmente para previsão Valor observado na série temporal é o produto dos componentes Dados anuais: Dados mensais ou trimestrais: Ti = Tendência Ci = Cíclico Ii = Irregular Si = Sazonal

Modelo de Série Temporal Multiplicativo Y= T x S x I Y/T = (T x S x I)/T Y/T = S x I onde T = a + bx ( regressão )

Modelo de Extrapolação de Tendências Determinar a componente sazonal de uma série T = Tendência de Longo Prazo S = Componente Sazonal I = Componente Irregular Y = T x S x I Demanda Mensal (peças)

Modelo de Extrapolação de Tendências

Modelo de Extrapolação de Tendências Passos para REMOVER a Tendência de Longo Prazo L: Y = T x S x I 1) Cálculo da Tendência de Longo Prazo (T)

Modelo de Extrapolação de Tendências Tendência de Longo Prazo (L)

Modelo de Extrapolação de Tendências 2) Remoção da Tendência a Longo Prazo (L)

Modelo de Extrapolação de Tendências Remoção efeito da irregularidade ( I ) Y = T x S x I Zt = S x I

Modelo de Extrapolação de Tendências Fator de Sazonalidade (S): Efeito Mensal da Sazonalidade:

Números Índices

Definição Os números índices são medidas estatísticas freqüentemente usadas por administradores, economistas e engenheiros, para comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e obter um quadro simples e resumido das mudanças em áreas relacionadas como preços de matérias primas, preços de produtos acabados, volume físico de produção etc.

Números Índices Com a utilização de números índices é possível estabelecer comparações entre: Variações ocorridas ao longo de tempo; Diferenças entre lugares; Diferenças entre categorias semelhantes, tais como produtos, pessoas, etc.

Números Índices Os números índices são usados para indicar variações relativas em quantidades, preços ou valores de um artigo, durante um dado período de tempo. Um número índice é uma razão usada para avaliar a variação entre dois períodos de tempo.

Números Índices Um número índice simples avalia a variação relativa de um único item ou variável econômica entre dois períodos de tempo. Calcula-se como a razão do preço, quantidade ou valor em um dado período para o correspondente preço, quantidade ou valor num período base.

Preços Relativos Relaciona o preço de um produto numa época t (chamada época atual ou época dada) com o de uma época 0 (chamada base)

Preços Relativos pt – preço numa época atual (ou dada) p0 – preço na época base

Exemplo O preço de determinado artigo em 1998 foi R$ 1,20 e em 1999 subiu para R$ 1,38. Tomando-se por base o ano 1998, determinar o preço relativo em 1999.

Relativo - Quantidade qt – quantidade de um produto numa época atual (ou dada) q0 – quantidade de um produto numa época base

Exemplo Uma empresa produziu 45 toneladas de aço em 1979 e 68 toneladas em 1980. A quantidade relativa será, tomando-se o ano de 1979 como base:

Relativos de Valor Se p for o preço de determinado artigo em certa época e q a quantidade produzida ou consumida desse mesmo artigo na mesma época, então pxq será denominado valor total de produção ou de consumo.

Exemplo Uma empresa vendeu, em 1990, 1000 unidades de um artigo ao preço unitário de R$50,00. Em 1991 vendeu 2000 unidades do mesmo artigo ao preço unitário de R$60,00. O valor relativo da venda em 1991 foi:

Exercícios Os preços médio no varejo, de uma produção, por unidade, durante os anos de 1993 a 1998, estão apresentados na tabela abaixo:

Exercícios a) Adotando o ano de 1993 como base, determinar os preços relativos correspondentes a todos os anos dados.

Exercícios b) Adotando o ano de 1996 como base, determinar os preços relativos correspondentes a todos os anos dados.

Aplicação Aplicações de todos os conceitos estudados em exercícios práticos.....