Percursos em um grafo 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Definição Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira e da última) Percurso fechado: a última aresta da sucessão é adjacente a primeira; Percurso aberto: caso contrário 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Notação A sucessão é indicada por: Vértices Arestas Vértices e arestas alternados 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo e G a b c d 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Comprimento de um percurso Número de arestas por ele utilizado (incluindo repetições) O que é o comprimento de um percurso em um grafo valorado? 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Tipos de percurso Simples: não repete arestas Elementar: não repete vértices nem arestas (caminho) Ciclo: percurso simples e fechado Ciclo elementar: só há repetição do último vértice Uma corda é uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Percurso abrangente Um percurso é abrangente a um dos conjuntos do grafo quando utiliza todos os elementos desse conjunto ao menos uma vez Euleriano Hamiltoniano 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Conexidade 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G. 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G Relação de Equivalência definida pela conexão entre os vértices 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Equivalência Reflexiva 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Equivalência Caminho-(u, u) 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Equivalência Caminho-(u, u) Simétrica 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Equivalência Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Equivalência Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Transitiva 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Equivalência Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Se existem os caminhos-(u,v) e –(v,w) então existe caminho-(u,w) 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Componentes Conexas 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi Os subgrafos G(V1), ..., G(Vp) são chamados de componentes conexas de G. 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Maximalidade (Minimalidade) Seja S um conjunto e S'  S. Diz-se que S' é maximal em relação a uma certa propriedade  quando S' satisfaz a propriedade  e não existe subconjunto S''  S e S'  S'' que também satisfaz . Isto é, S' não está contido propriamente em nenhum subconjunto de S que satisfaz . 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Maximal (Minimal) G´  G é maximal em relação a uma propriedade  se não houver G’’  G´tal que G” tem a propriedade . Componentes conexas: são todos os subgrafos conexos maximais de G. 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo G 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo G G é Conexo 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo H G G é Conexo 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo H G G é Conexo H é desconexo 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo H G G é Conexo H é desconexo 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo H G G é Conexo H é desconexo 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo H G G é Conexo H é desconexo 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo H G G é Conexo H é desconexo 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo H G G é Conexo H é desconexo (G)= número de componentes conexas de G 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Decomposição por Conexidade Conex (s0  V) entrada: G = (V,E) 1. v ← s0; 2. R(v) ← {v}; 3. Y ← ; 4. enquanto  (R(v)) – R(v)   faça 5. Y ←  (R(v)) – R(v); 6. R(v) ← R(v) U Y; 7. fim-enquanto 8. Y ← R(v); 9. V ← V – Y; 10. se V   então 11. Conex (s  V) 12. fim-se-então saída: componentes conexos de G 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exemplo v ← a G Y ← , {b,c}, {d} R(v) ← {a}, {a,b,c},{a,b,c,d} a a b f f d d e h g j i 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Decomposição por Conexidade Adaptação para grafos não orientados do Algoritmo de Malgrange Se baseia na determinação de vizinhanças dos vértices Complexidade: O(n2) Outros algoritmos disponíveis (Trémaux, Tarjan, Gondran e Minoux, Szwarcfiter) 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Teorema Um grafo G é desconexo sss V pode ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2 de maneira que não existe aresta em G com um dos vértices extremos em V1 e o outro em V2 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Teorema Se um grafo (conexo ou desconexo) tem exatamente dois vértices de grau ímpar, então existe um caminho que liga esses dois vértices 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exercícios Indique percursos simples e não simples em G1 Indique percursos não elementares em G2 Todo percurso elementar é simples. Todo percurso simples é elementar? Explique. Construa dois grafos de 5 vértices e 8 arestas que não sejam isomorfos. c a b d e G2 a b G1 c d e 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Exercícios Aplique a adaptação do algoritmo de Malgrange no grafo G abaixo e indique o resultado. a b G c d e c a b d e 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar Teorema Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

() v u 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

() P v u 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF@&*!)

() P w v u 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

() P Q w v u 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

() P Q w v u u1 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

() P Q w P1 v u u1 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

() P Q w P1 v Q1 u u1 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

() P Q w v u u1 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

() P Q w v u u1 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Teorema Um grafo simples G com n vértices e k componentes conexas pode ter no máximo (n-k)(n-k+1)/2 arestas 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

Prova Idéia: k = 1: (n-1)(n-1+1)/2 → (n-1)n/2 ... 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)

i=1,k ni2  n2 – (k-1)(2n-k) Prova Idéia: n1 + n2 + ... + nk = n e ni ≥ 1, 1 ≤ i ≤ k Desigualdade algébrica utilizada: i=1,k ni2  n2 – (k-1)(2n-k) 2010/1 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)