Geometria analítica e álgebra linear matriz Geometria analítica e álgebra linear Me. Gilcimar Bermond Ruezzene
Definição de Matrizes Amxn = Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Amxn = = [aij]mxn Elemento da linha i e coluna j Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna matriz A de m linhas e n colunas
Diagonal principal (i = j) TIPOS DE MATRIZES Matriz quadrada m = n (x linhas = x colunas) Diagonais Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas. Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j) Elementos da diagonal principal: 1, 1 e 2 Elementos da diagonal secundária: 2, 1 e 4 Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
Matrizes Triangulares Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Todas as matrizes triangulares são quadradas.
Casos especiais de Matrizes Triangulares. Matriz diagonal Matriz identidade A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal são todos iguais a um. Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero Chamamos a matriz acima de I3 (identidade de ordem 3) No geral, In onde n é a ordem da matriz.
Matriz nula Igualdade de Matrizes. Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos correspondentes são iguais. Todos os elementos são nulos. Então essa é O3x4 Chamamos a matriz nula de Omxn A Matriz nula não precisa ser quadrada!
Os elementos da transposta são os opostos da original. Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m ) Matriz A transposta Simétrica Matriz quadrada tal que At = A = Matriz A transposta Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A Os elementos da transposta são os opostos da original.
+ = OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B. + = É sempre possível somar matrizes? Não! Somente quando estas forem de mesma ordem. O mesmo vale pra subtração.
Multiplicação por escalar Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número. Matriz -2A Matriz A
Multiplicação de matriz por matriz CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p. O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11. O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12. Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
Observe, multiplicamos ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o primeiro elemento da linha com o primeiro elemento da coluna e por aí vai... 2.(-1) + 1.4 2.1 + 1.0 4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4 5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4
EXEMPLO 1 13
EXEMPLO 2 14
Inversão de Matrizes EXEMPLO 3 Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I. EXEMPLO 3 Calcule a inversa da matriz A =