Campus de Caraguatatuba Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 4: Matrizes (1)

Introdução (1) Matriz pode ser definida como um conjunto de elementos dispostos de forma tabular, os quais podem representar por exemplo, números reais, números complexos e expressões, dentre outros. Normalmente uma matriz é delimitada por colchetes ou chaves; e O tamanho da matriz é definido por seu número de linhas e de colunas. Notação: Implícita - Letras Maiúsculas A ou A (em negrito ou não) A ou A (em itálico ou não) ou (uma matriz com m linhas e n colunas)

Introdução (2) Notação Explícita O elemento , denominado de ij-ésima entrada ou elemento, aparece na linha i e na coluna j. Uma matriz com m linhas e n colunas é uma matriz m x n, onde m e n determinam o tamanho da matriz.

Introdução (3) Duas matrizes A e B são iguais se tiverem o mesmo tamanho e se os elementos correspondentes forem iguais. Ou seja, Há uma série de matrizes especiais, que serão apresentadas a seguir.

Matriz Linha e Matriz Coluna Uma matriz A de tamanho 1 x n, ou seja, com uma linha e n colunas. Matriz Coluna Uma matriz B de tamanho m x 1, ou seja, com m linhas e uma coluna. Obs.: Um vetor pode ser representado por essas matrizes.

Matriz Quadrada (1) Matriz Quadrada Exemplo 1: Matriz Quadrada A. Uma matriz A é denominada de matriz quadrada se for de tamanho n x n (ou m x m), ou seja, ela tem o mesmo número de linhas e colunas. Exemplo 1: Matriz Quadrada A.

Matriz Quadrada (2) Numa matriz quadrada A define-se a diagonal principal e a diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos aij  tais que i = j. Na diagonal secundária, tem-se i + j = n + 1.

Matriz Diagonal Matriz Diagonal Exemplo 2: Matriz Diagonal B. Uma matriz quadrada B é denominada de Matriz Diagonal se apenas os elementos da diagonal são diferentes de zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, Exemplo 2: Matriz Diagonal B.

Matriz Nula Matriz Nula Exemplo 3: Matriz Nula A. Uma matriz A é denominada de Matriz Nula se todos os seus elementos forem iguais a zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, Exemplo 3: Matriz Nula A.

Matriz Identidade Matriz Identidade Exemplo 4: Matriz Identidade B. Uma matriz diagonal B é denominada de Matriz Identidade (ou In) se todos os seus elementos da diagonal forem iguais a um, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, Exemplo 4: Matriz Identidade B.

Matriz Triangular Superior Uma matriz quadrada A é denominada de Matriz Triangular Superior se todos os seus elementos abaixo da diagonal principal forem zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição que se segue, Exemplo 5: Matriz Triangular Superior A.

Matriz Triangular Inferior Uma matriz quadrada B é denominada de Matriz Triangular Inferior se todos os seus elementos acima da diagonal principal forem zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, Exemplo 6: Matriz Triangular Inferior B.

Matriz Simétrica Matriz Simétrica Uma matriz quadrada A ou B é denominada de Matriz Simétrica se houver uma simetria dos seus elementos com relação à diagonal principal, ou seja se ela satisfaz a seguinte proposição a seguir, Exemplo 7: Matrizes Simétricas A e B.

Matriz Densa Matriz Densa Exemplo 8: Matriz Densa A. Uma matriz A é denominada de Matriz Densa se a maior parte de seus elementos for diferente de zero. Exemplo 8: Matriz Densa A.

Matriz Esparsa Matriz Esparsa Exemplo 9: Matrizes Esparsas. Uma matriz é denominada de Matriz Esparsa se a maior parte de seus elementos for igual a zero. Uma matriz diagonal é um exemplo de uma matriz esparsa quadrada. Exemplo 9: Matrizes Esparsas. Matrizes esparsas de alta ordem geralmente representam a solução de muitos problemas reais.

Matriz Transposta (1) Matriz Transposta Exemplo 11: Vetor transposto. A operação de transposição de uma matriz para se gerar a Matriz Transposta se faz trocando suas linhas por suas colunas, de tal forma que a linha m se transforma na coluna n e a coluna n se transforma na linha j. Notação: Exemplo 10: Matriz A e sua transposta AT. A ou AT Exemplo 11: Vetor transposto.

Matriz Transposta (2) Exercício 1: Qual é a matriz transposta AT da matriz A apresentada a seguir?

Potência de Matrizes Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potências de A são definidas como se segue,

Operações com Matrizes (1) Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n. A soma destas matrizes gera uma matriz C = A + B, construída de forma a atender a equação a seguir, Exemplo 12: Soma das matrizes A e B.

Operações com Matrizes (2) Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n. A subtração dessas matrizes gera uma nova matriz D = A - B, construída de forma a atender a equação a seguir, Exemplo 13: Subtração das matrizes A e B.

Operações com Matrizes (3) Seja  um escalar e a matriz A com dimensão igual m x n. A multiplicação de um escalar  (ou c) pela matriz A gera uma matriz F construída usando a equação a seguir, Exemplo 14: Multiplicação das matrizes A e B.

Operações com Matrizes (4) Há uma série de propriedades nas operações algébricas das matrizes de soma e multiplicação por escalar. A + B = B + A; (A + B) + C = A + (B + C); (A + B) = A + B; ( + )A = cA + A; ()A = (A); (A + B)′ = A′ + B′; e (A)′ = A′. Obs.: A e B matrizes; e  e  escalares.

Operações com Matrizes (5) Para a multiplicação de duas matrizes, seja A uma matriz de dimensão m x n e B uma matriz de dimensão p x q. A multiplicação da matriz A pela matriz B só é possível se n = p, caso contrário se diz que as matrizes A e B são incompatíveis para a multiplicação. Se as matrizes A e B são compatíveis, a multiplicação das matrizes gera uma nova matriz P = AB com cada elementos pij construído da seguinte forma a seguir, A matriz P tem a dimensão m x q.

Operações com Matrizes (6) A multiplicação de duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n ocorre como apresentado a seguir, E o ij-ésimo elemento cij é dado por como se segue,

Operações com Matrizes (7) Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir. Calcular a matriz AB.

Operações com Matrizes (8) Exercício 2: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir. Calcular a matriz P = AB.

Operações com Matrizes (9) Há uma série de propriedades adicionais nas operações algébricas das matrizes (as matrizes A, B e C são de dimensões tais que os produtos abaixo sejam definidos). (AB)′ = B′A′ ou (AB)T = BTAT; C(AB) = (CA)B; A(B + C) = (AB + AC); e A(BC) = (AB)C. Obs.: Em geral não vale a propriedade comutativa, ou seja, AB≠BA; e Se AB = 0, isso não implica que A = 0 ou que B = 0.