Modelagem de Problemas como ferramenta ensino-aprendizagem FUNÇÕES Modelagem de Problemas como ferramenta ensino-aprendizagem

Um pouco de História Primeira noção de dependência: há 6000 anos Pastores= associações entre objetos Tabelas de argila na Babilônia Grécia clássica: 600 A.C. explicações racionais para fenômenos Platão: 400 A.C. Estudo dos fenômenos pela Matemática

Um pouco de História Aristóteles: qualitativo- atrasou Ptolomeu- 140 D.C. livro Almagesto- Trigonometria Europa depois de 1200 D.C.- criação de universidades- questionamento de Roger Bacon e Ockham das idéias de Aristóteles Oresme-Univ.Paris: primeiro gráfico Sec.XVI: Kepler, Galileu= leis físicas quantitativas--- idéia funcional

Conceito de função individualizado Final do sec. XVII---- Cálculo Infinitesimal por Newton e Leibniz Correspondência entre Leibniz e Johann Bernoulli Retoque na definição e notação= Euler em 1748 (associação com expressão analítica) 1837- Dirichlet- associação com conjuntos de números Sec. XIX- teoria dos conjuntos- definição moderna

Atualmente FUNÇÃO----= importância central na concepção e estudo de MODELOS (dinâmicos, probabilísticos, de distribuição espacial...) NOÇÃO CHAVE- evolução histórica Ensino Hoje: não leva em conta a longa evolução até o conceito moderno; só trabalha com números IDEIA: levar o aluno a construir o conceito, começando com as noções concretas intuitivas dos pastores e dos babilônios

Problemas para modelar/resolver utilizando funções Ferramentas para o professor: História da Matemática (uso explícito/implícito) Fundo de Conhecimento dos Alunos (coleta de dados pelo professor, antes da criação de situações-problema a serem trabalhadas/modeladas em sala) Pedagogia Culturalmente Relevante (uma das metas deve ser desenvolver nos alunos competência cultural e consciência crítica)

Início do estudo de Funções Situações –problema obtidas a partir do exercício das teorias anteriores Construção das idéias intuitivas com os alunos antes da formalização Idéias de Polya para solução das situações problema: Compreensão do Problema, Dedução de um modelo matemática que descreva o problema, Solução do Modelo e verificação da solução, Interpretação da Solução

Situações Problema Problema das Passagens de Ônibus Problema da Fábrica de Refrigerante Problema dos associados do clube Problema da Caixa d’água

Problema das Passagens de Ônibus Supondo que vários alunos moram na cidade de Itabirito e pagam 7,50 reais por passagem de ônibus para Ouro Preto, onde estudam, foi apresentada a tabela abaixo, a ser completada pelos alunos. Depois foi apresentado a eles um questionário com algumas perguntas. É possível determinar quantas passagens foram pagas, se o valor total pago for de trinta reais? O que é constante, neste problema? O que é variável, neste problema? O que é incógnita, neste problema? Como você representaria matematicamente a relação entre o número de passagens e o valor pago? Como seria a representação gráfica dessa situação? No de Passagens 1 2 5 8 10 Valor Pago (em reais)

Problema da Fábrica de Refrigerante Uma fábrica de refrigerante calcula que tem um gasto de R$ 5000,00 reais em custos fixos (pagamento de salários, aluguel, manutenção das máquinas, etc.) acrescido de R$ 2500,00 de custos variáveis (conta de luz, aquisição de matéria prima, etc.), para cada 10 000 litros de refrigerante produzidos. Esta situação problema foi apresentada aos alunos para que trabalhassem em grupo até entender alguns conceitos importantes, como custo total, custo fixo e custo variável total. Depois foi entregue um questionário contendo as perguntas abaixo, para serem respondidas individualmente. No decorrer do processo teve que ser trabalhado o conceito de custo variável por cada litro de refrigerante produzido. Quanto custa produzir 20000 litros de refrigerante? Como você representaria matematicamente a relação entre o número de passagens e o valor pago? Quantos litros de refrigerante podem ser produzidos com R$ 12500,00?

Problema dos associados do clube O Olímpico Diversões Clube paga R$ 75, 00 pelo aluguel de um aparelho de dvd para mostrar um filme aos seus associados, durante uma tarde de domingo, e cobra uma taxa de R$ 1,50 pelo ingresso na sessão. Para esta situação-problema foi apresentado logo o questionário abaixo, para que o problema fosse discutido e as respostas às perguntas construídas de uma só vez. Obtenha uma modelagem matemática para o problema através de uma função que relaciona o lucro obtido pelo clube com o número de ingressos vendidos. Quantos ingressos o clube precisa vender para obter um lucro de R$ 9,00? Qual o lucro da venda de 66 ingressos?

Problema da Caixa d’água Considere uma caixa d' água cúbica com base medindo 4 m2 de área e 2 m de altura. Uma torneira aberta despeja água na caixa a uma vazão de ½ m3 por hora. Esta situação-problema mais sofisticada foi apresentada tendo como objetivo inicial levar os alunos a construir intuitivamente as três relações funcionais envolvidas no problema, do volume de água em função do nível de água, do volume de água na caixa em função do tempo e do nível de água em função do tempo. O passo seguinte foi levar à relação entre as funções (função composta) até chegar à modelagem do problema, para responder às questões abaixo: A que altura estará o nível de água na caixa 1h depois? E depois de 2 horas? E depois de 3 horas? Quanto tempo levará para que a caixa d'água encha completamente?

Aspectos teóricos a serem apresentados posteriormente Definição de função Exemplos significativos que não sejam só com conjuntos de números Representação algébrica e geométrica (se existirem) dos conjuntos Domínio, contra-domínio, imagem, gráfico Funções crescentes, decrescentes, injetoras, sobrejetoras, bijetoras Função inversa

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Fontes interessantes de consulta <http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=hist_funcao> <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/hist.htm> <http://www.uff.br/dalicenca/images/stories/caderno/volume6/ UM_BREVE_HISTRICO_DO_CONCEITO_DE_FUNO.pdf> <http://www.redalyc.org/pdf/2912/291229373012.pdf > <http://pt.calameo.com/read/00156861234261 e73c9e4> <http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/ cap51s2.html >