Desigualdades e inequações em R.

f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x) Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas funções reais. Chamamos Inequação de incógnita x toda desigualdade condicional que apresenta uma das formas seguintes: f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x)

Solução e Conjunto-solução Solução de uma inequação é cada valor real de x que a satisfaz. Conjunto-solução de uma inequação é o conjunto de todas as soluções. Resolver uma inequação é encontrar o seu conjunto solução.

Equivalência de inequações Princípios de equivalência

Princípios de equivalência Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois membros de uma inequação. Isso equivale a transpor um termo de um membro para outro, invertendo o seu sinal. 3x + 5 > 2 ⇒ 3x > 2 – 5 ⇒ 3x > –3 ⇒ x > –1 Troca de sinal –3x ≤ 6 – 4x ⇒ –3x + 4x ≤ 6 ⇒ x ≤ 6 Troca de sinal

Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. 3x > –12 ⇒ x > –12/3 ⇒ x > – 4 Manteve o sentido

Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. –5x ≤ – 15 ⇒ x ≥ –15/–5 ⇒ x ≥ 3 Inverteu o sentido

Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. < 3 ⇒ x + 1 > 3.(–2) ⇒ x + 1 > –6 ⇒ x > –7 Inverteu o sentido

Inequações de 2.º grau

Inequações de 2.º grau Há inequações, que na forma simplificada, envolvem a função de 2.º grau y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Elas são chamadas de inequações de 2.º grau e devem ser resolvidas graficamente. Veja, ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c ≥ 0 ax2 + bx + c ≤ 0

Exemplos Resolver a inequação de 2.o grau x2 – 4 > 0. a) Raízes: Na função y = x2 – 4, queremos encontrar os valores de x tais que y > 0. a) Raízes: x2 – 4 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = –2 ou x = 2. b) Parábola: a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima. + + S = {x ∈ R/ x < –2 ou x > 2} x –2 2

Exemplos Resolver a inequação de 2.o grau x2 – 3x – 4 ≤ 0. a) Raízes: Na função y = x2 – 3x – 4, queremos encontrar os valores de x tais que y ≤ 0. a) Raízes: x2 – 3x – 4 = 0 ⇒ x = –1 ou x = 4. b) Parábola: a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima. x S = {x ∈ R/ –1 ≤ x ≤ 4} –1 – 4

Exemplos Mostrar graficamente que o conjunto solução da inequação –2x2 + x – 5 < 0 é R. Na função y = –2x2 + x – 5, devemos provar que y < 0 para todo x real. a) Discriminante :  = 12 – 4.(–2).(–5) = –39  = –39 < 0 ⇒ a função não tem raízes reais ⇒ a parábola não corta o eixo x. b) Parábola: a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo. x – – – y < 0 para todo x real.

Exemplos a) Raízes: –x2 + 6x – 9 = 0 ⇒ x’ = x” = 3. b) Parábola: Determinar todos os valores reais de x tais que –x2 + 6x – 9 ≥ 0. Na função y = –x2 + 6x – 9, queremos encontrar os valores de x tais que y ≥ 0. a) Raízes: –x2 + 6x – 9 = 0 ⇒ x’ = x” = 3. b) Parábola: a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo. y = 0 apenas para x = 3 3 x Não existe x / y > 0. S = {3}

Exemplos ⇒ x2 + 4 < 3x + 2 ⇒ x2 – 3x + 2 < 0. a) Raízes: Obter todos os valores de x tais que o gráfico de f(x) = x2 + 4 esteja situado abaixo do gráfico de g(x) = 3x + 2. f(x) < g(x) ⇒ x2 + 4 < 3x + 2 ⇒ x2 – 3x + 2 < 0. a) Raízes: x2 – 3x + 2 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 2. b) Parábola: a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima. x S = {x ∈ R/ 1 < x < 2} 1 – 2

Veja os gráficos das funções f(x) = x2 + 4 e g(x) = 3x + 2 y f g 4 2 x 1 2 f(x) > g(x) para x < 1 ou x > 2 f(x) < g(x) para 1 < x < 2 f(x) = g(x) para x = 1 ou x = 2

Inequações-produto e inequações-quociente

Observe as seguintes inequações, –x2 – x + 2 a) (2 – x)(x2 – 1) > 0 b) ≤ 0 x – 3 Na primeira, temos um produto de polinômios. Trata-se de uma inequação produto. Na segunda temos um quociente de polinômios. Temos, no caso, uma inequação quociente.

Inequações-produto e inequações-quociente. Para resolver inequações como essas, vamos usar as regras de sinais da multiplicação e divisão. Em símbolos, (+).(+) = (+) (+).(–) = (–) (–).(–) = (+) (+) (+) (–) = (+) = (–) = (+) (+) (–) (–)

Processo geral de resolução Fazemos o estudo dos sinais de cada expressão envolvida. Aplicamos as regras de sinais da multiplicação ou divisão, conforme o caso. Para isso, utilizamos um esquema chamado quadro de sinais.

Exemplos Resolver a inequação produto (2 – x)(x2 – 1) > 0. Estudo dos sinais da função y1 = 2 – x a) Raiz: 2 – x = 0 ⇒ x = 2 b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ reta descendente. + x 2 –

Exemplos Resolver a inequação produto (2 – x)(x2 – 1) > 0. Estudo dos sinais da função y2 = x2 – 1 a) Raiz: x2 – 1 = 0 ⇒ x = –1 ou x = 1 b) Coeficiente de x é 1 > 0 ⇒ concavidade da parábola para cima. + + x –1 – 1

Quadro de sinais y = (2 – x)(x2 – 1) > 0. – ∞ –1 1 2 +∞ y1 = 2 – x S = {x ∈ R/ x < –1 ou 1 < x < 2} ou S = ]–∞, –1[ ⋃ ]1, 2[

Exemplos –x2 – x + 2 Resolver a inequação quociente ≤ 0 x – 3 Estudo dos sinais da função y1 = –x2 – x + 2 a) Raízes: –x2 – x + 2 = 0 ⇒ x = –2 ou x = 1 b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ concavidade da parábola para baixo. –2 + 1 x – –

Exemplos –x2 – x + 2 Resolver a inequação quociente ≤ 0 x – 3 Estudo dos sinais da função y2 = x – 3 a) Raiz: x – 3 = 0 ⇒ x = 3 b) Coeficiente de x é 1 > 0 ⇒ reta ascendente. + x – 3

Quadro de sinais –x2 – x + 2 ≤ 0 x – 3 – ∞ –2 1 3 +∞ y1 = –x2 – x + 2 y1/y2 + – + – –x2 – x + 2 ≤ 0 x – 3 S = {x ∈ R/–2 ≤ x ≤ 1 ou x > 3} ou S = [–2, 1] ⋃ ]3, +∞[

Exemplos –5 Resolver a inequação quociente > 0 2x – x2 Estudo dos sinais da função y2 = 2x – x2 a) Raízes: –x2 + 2x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 2 b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ concavidade da parábola para baixo. S = {x ∈ R/x < 0 ou x > 2} 2 x – – ou S = ]–∞, 0[ ⋃ ]2, +∞[

Exemplos 2 x + 4 Resolver a inequação ≤ x – 1 x + 1 Devemos obter 0 (zero) no 2º membro. Para isso vamos transpor a fração do 2º membro para o 1º. 2 x + 4 2 x + 4 ≤ ⇒ – ≤ 0 x – 1 x + 1 x – 1 x + 1 O MMC dos denominadores é (x – 1)(x + 1). 2(x + 1) – (x – 1)(x + 4) –x2 – x + 6 ⇒ ≤ 0 ⇒ ≤ 0 (x – 1)(x + 1) x2 – 1

Exemplos –x2 – x + 6 Resolver a inequação ≤ 0 x2 – 1 Estudo dos sinais da função y1 = –x2 – x + 6 a) Raízes: –x2 – x + 6 = 0 ⇒ x = –3 ou x = 2 b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ concavidade da parábola para baixo. –3 + 2 x – –

Exemplos –x2 – x + 6 Resolver a inequação ≤ 0 x2 – 1 Estudo dos sinais da função y2 = x2 – 1 a) Raízes: x2 – 1 = 0 ⇒ x = –1 ou x = 1 b) Coeficiente de x é 1 > 0 ⇒ concavidade da parábola para cima. + + x – –1 1

Quadro de sinais –x2 – x + 6 ≤ 0 x2 – 1 – ∞ –3 –1 1 2 +∞ y1 = –x2 – x + 6 – + + + – y2 = x2 – 1 + + – + + y1/y2 – + – + – –x2 – x + 6 ≤ 0 x2 – 1 S = {x ∈ R/x ≤ –3 ou –1 < x < 1 ou x ≥ 2}

Sistema de inequações

Sistema de Inequações Duas ou mais inequações que devem ser satisfeitas simultaneamente formam um sistema de inequações. Par resolver um sistema de inequações, resolvemos cada inequação separadamente e, em seguida, calculamos a interseção das soluções obtidas.

Exemplos 2x + 1 < 7 Resolver o sistema de inequações 5x ≤ x2 (1) Resolver o sistema de inequações 5x ≤ x2 (2) Resolvendo a inequação (1) 2x + 1 < 7 ⇒ 2x < 6 ⇒ x < 3

Exemplos 2x + 1 < 7 Resolver o sistema de inequações 5x ≤ x2 (1) Resolver o sistema de inequações 5x ≤ x2 (2) Resolvendo a inequação (2) 5x ≤ x2 ⇒ –x2 + 5x ≤ 0 a) Raízes: –x2 + 5x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 5 b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ concavidade da parábola para baixo. Solução: x ≤ 0 ou x ≥ 5 5 x – –

Exemplos 2x + 1 < 7 Resolver o sistema de inequações 5x ≤ x2 (1) Resolver o sistema de inequações 5x ≤ x2 (2) Interseção das soluções Solução de (1) 3 Solução de (2) 5 Interseção S = {x ∈ R/x ≤ 0}