A pirâmide e suas formas Prof. Jorge

Definição Observe a animação. V  O conjunto de todos esses segmentos com extremos no ponto V e um dos pontos do polígono é um poliedro chamado pirâmide. Prof. Jorge

Elementos principais do prisma V A B C D E F A pirâmide tem dois tipos de faces A base (polígono ABCDEF). faces laterais (triângulos). Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral. Prof. Jorge

Elementos principais do prisma V A B C D E F A pirâmide tem dois tipos de arestas arestas da base (AB, BC, CD, DE, EF e FA). arestas laterais (VA, VB, VC, VD, VE e VF ). Prof. Jorge

Elementos principais do prisma V A B C D E F h  A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide. Prof. Jorge

Classificação Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base. Polígono da base Pirâmide triângulo P. triangular quadrado P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal Prof. Jorge

Veja algumas dessas pirâmides Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal Prof. Jorge

Pirâmide regular Pirâmide regular é aquela em que A base é um polígono regular; A projeção do vértice sobre o plano da base é o centro dessa base. As arestas laterais são congruentes. Como conseqüência as faces laterais são triângulos isósceles, congruentes entre si. Prof. Jorge

Pirâmides regulares V V h h O O ⇒ ⇒ Prof. Jorge A base da pirâmide é um quadrado A base da pirâmide é um hexágono regular ⇒ ⇒ Pirâmide quadrangular regular Pirâmide hexagonal regular Prof. Jorge

VM é o apótema (p) da pirâmide Apótema da pirâmide V A B C D VM é o apótema (p) da pirâmide p ⇒ M BM = MC Prof. Jorge

Segmentos notáveis na pirâmide regular B A M O a h m r p b VO = h, altura; VA = a, aresta lateral; AB = b, aresta da base; Prof. Jorge

Segmentos notáveis na pirâmide regular OM = m, apótema da base; OA = r, raio da base; VM = p, apótema pirâmide; h p a B m O M b r A Prof. Jorge

A pirâmide e o teorema de Pitágoras Prof. Jorge

A pirâmide e o teorema de Pitágoras V p2 = h2 + m2 h p B O m M A Prof. Jorge

A pirâmide e o teorema de Pitágoras V a2 = h2 + r2 h a O r A Prof. Jorge

A pirâmide e o teorema de Pitágoras V a2 = p2 + (b/2)2 p a B M b/2 A Prof. Jorge

Exemplos Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e o apótema da base mede 3 cm. Calcular o raio da base, a aresta da base, a altura e o apótema da pirâmide. V M O A Prof. Jorge

Exemplos Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e a área da base 144 cm2. Achar sua área lateral. V B A M a p b Prof. Jorge

Volume da pirâmide Prof. Jorge

Volume da pirâmide A figura a seguir mostra um prisma e uma pirâmide regulares de mesma base e mesma altura. Qual dos dois tem maior volume? Qual a relação entre os dois volumes? Pode-se provar que a razão entre os dois volumes é exatamente igual a 3. Prof. Jorge

Volume da pirâmide Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma. AB.h V = 3 1 Prof. Jorge

Exemplo Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 2, e a área lateral é o dobro da área da base. Obter a área total e o volume da pirâmide. V h p B m M b A Prof. Jorge

Tronco de pirâmide Prof. Jorge

Tronco de Pirâmide R h’ C’ h R C’ h’ C’ h – h’ Prof. Jorge D’ A’ B’ D

Razão de semelhança - Comprimentos B’ C’ D’ h’ h D C Razão de semelhança A B = RA’ RA A’B’ AB =... = h’ h = k Prof. Jorge

Razão de semelhança - Áreas B’ C’ D’ h’ h D C A B = A’B AB A’L AL A’T AT = k2 Prof. Jorge

Razão de semelhança - Volumes B’ C’ D’ h’ h D C A B = k3 V’ V Prof. Jorge

Exemplos A superfície de um recipiente tem forma de pirâmide regular de altura x, conforme figura. Colocam-se, dentro dele, 100 mL de água. Com isso, ela atinge o nível x/3. Achar a capacidade do recipiente. x x/3 Prof. Jorge

Exemplos Num tronco de pirâmide quadrangular regular, a altura mede 6 m. Suas bases têm 16 m2 e 64 m2 de área. Calcular o volume desse tronco. V h 16 m2 h + 6 6 64 m2 Prof. Jorge