Função afim: a função geral de 1º grau

A temperatura de uma substância é 30 ºC A temperatura de uma substância é 30 ºC. Vamos analisar duas situações distintas.

① Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, aumentando 10 ºC por minuto. Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto. t(min) 1 2 3 4 5 T(oC) 30 40 50 60 70 80 A taxa de variação da temperatura é positiva (10 oC/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é, T = 30 + 10.t

② Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto. Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto. t(min) 1 2 3 4 5 T(oC) 30 20 10 –10 – 20 A taxa de variação da temperatura é negativa (10 oC/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é, T = 30 – 10.t

Veja os gráficos cartesianos das duas funções T(oC) t(min) T(oC) 30 1 40 2 50 3 60 4 70 5 80 80 60 40 20 t(min) T = 30 + 10.t 1 2 3 4 5

Veja os gráficos cartesianos das duas funções T(oC) 60 t(min) T(oC) 30 1 20 2 10 3 4 –10 5 –20 40 20 t(min) 1 2 3 4 5 –20 T = 30 – 10.t –40

Função afim ou de 1º grau é toda função do tipo y = f(x) = ax + b Em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0. Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, função linear.

Exemplos y = f(x) = 5x – 3 é uma função afim com a = 5 e b = –3. Nesse caso a função é chamada de linear.

Características da função afim y = f(x) = ax + b. A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau; seu termo independente pode ser nulo ou não. Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada de função linear. A constante real a, não-nula, é o coeficiente angular. Ela é a mesma, qualquer que seja o intervalo considerado.

Características da função afim y = f(x) = ax + b. A constante real b é o coeficiente linear. Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não conter origem (caso b ≠ 0). O crescimento ou o decrescimento da função estão relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0.

Crescimento e decrescimento. a > 0 ⇒ função crescente ⇒ reta ascendente (sobe da esquerda p/ direita) a < 0 ⇒ função decrescente ⇒ reta descendente (desce da esquerda p/ direita)

Exemplos a > 0 Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x/2. 5 y = x 4 3 y = x/2 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5

Exemplos Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x/2 em que y a < 0 5 4 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 y = –x/2 –3 –4 y = –x –5 y = –2x

A partir do gráfico da função linear y = ax, podemos obter os gráficos de todas as funções afins y = ax + b. Deslocamos o gráfico da função y = ax para cima ou para baixo, de acordo com o valor da constante b.

Exemplos Veja o gráficos das funções y = x; y = x + 2 e y = x – 3. y a > 0 y = x + 2 5 y = x 4 y = x – 3 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5

Exemplos Veja o gráficos das funções y = –2x; y = –2x – 3 e y = –2x + 4. y a < 0 5 4 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 y = –2x + 4 –4 –5 y = –2x y = –2x – 3

A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções afins do tipo y = f(x) = ax + b. Que relação existe entre o coeficiente b e o ponto onde cada reta corta o eixo y? b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Ou seja, a reta intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b).

Construir o gráfico da função y = 2x + 3. 5 4 x y = 2x + 3 y = 2.0 + 3 = 3 1 y = 2.1 + 3 = 5 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5

Construir o gráfico da função y = –2x – 2. 5 4 x y = –2x – 2 y = –2.0 – 2 = –2 1 y = –2.1 – 2 = –4 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5

Dois pontos determinam uma reta Dois pontos determinam uma reta. Por isso, se conhecermos dois de seus pontos, podemos obter a função afim que ela representa. Ou seja, podemos obter os coeficientes a e b da função.

Exemplos A semi-reta da figura mostra a despesa mensal y (em milhares de reais) de uma empresa, para produzir x toneladas no mês. x y 20 30 10 40 60 Despesa (milhares de reais) Produção (t) Escrever y em função de x. Obter a despesa na produção de 76 t. Obter o número de toneladas produzidas, para uma despesa de 93 mil reais.

Exemplos Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função. A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0). x y 2 4 Para x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ b = 4. Para x = 2 ⇒ y = 0, substituindo em y = ax + b, temos 0 = a.2 + 4 ⇒ –2a = 4 ⇒ a = –2 y = –2x + 4

Exemplos Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função. A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0). x y –2 1 –1 Para x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ b = 1. Para x = –2 ⇒ y = –1, substituindo em y = ax + b, temos –1 = a.(–2) + 1 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1 y = x + 1

Raízes e sinal da função afim

Nos gráficos das funções de 1º grau, a reta sempre corta o eixo x Nos gráficos das funções de 1º grau, a reta sempre corta o eixo x. A abscissa do ponto por onde o gráfico da função intercepta esse eixo é chamada de zero ou raiz da função. Raiz da função é o valor de x tais que f(x) = 0.

Exemplos Encontrar as raízes das funções de IR em IR definidas por f(x) = 3x – 6 e g(x) = –2x – 2. Queremos obter os valores de x que anulam as duas funções. f(x) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2 g(x) = 0 ⇒ –2x – 2 = 0 ⇒ –2x = 2 ⇒ x = –1

Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico abaixo. y Raiz: y = 0 para x = –2 Sinais: + + + + + –2 x y < 0 para x < –2 – – – y > 0 para x < –2

Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico abaixo. y Raiz: y = 0 para x = 1 Sinais: + + + + + x y < 0 para x > 1 1 – – – y > 0 para x < 1

Estudar o sinal de uma função é determinar para que valores do domínio (valores de x) a função é positiva, negativa ou nula.

Exemplos Estudar o sinal da função definida por f(x) = 3x – 6. Queremos saber para que valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. Primeiro vamos achar sua raiz. f(x) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2 Portanto, y = 0 para x = 2 + y > 0 para x > 2 – 2 x y < 0 para x < 2

Exemplos Estudar o sinal da função definida por g(x) = –2x + 2. Primeiro vamos achar sua raiz. g(x) = 0 ⇒ –2x + 2 = 0 ⇒ –2x = –2 ⇒ x = 1 Portanto, y = 0 para x = 1 + 1 x – y > 0 para x < 1 y < 0 para x > 1

Inequações de 1º grau

f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x) Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas funções reais. Chamamos Inequação de incógnita x toda desigualdade condicional que apresenta uma das formas seguintes: f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x)

Solução e Conjunto-solução Solução de uma inequação é cada valor real de x que a satisfaz. Conjunto-solução de uma inequação é o conjunto de todas as soluções. Resolver uma inequação é encontrar o seu conjunto solução.

Equivalência de inequações Princípios de equivalência

Princípios de equivalência Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois membros de uma inequação. Isso equivale a transpor um termo de um membro para outro, invertendo o seu sinal. 3x + 5 > 2 ⇒ 3x > 2 – 5 ⇒ 3x > –3 ⇒ x > –1 Troca de sinal –3x ≤ 6 – 4x ⇒ –3x + 4x ≤ 6 ⇒ x ≤ 6 Troca de sinal

Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. 3x > –12 ⇒ x > –12/3 ⇒ x > – 4 Manteve o sentido

Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. –5x ≤ – 15 ⇒ x ≥ –15/–5 ⇒ x ≥ 3 Inverteu o sentido

Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. < 3 ⇒ x + 1 > 3.(–2) ⇒ x + 1 > –6 ⇒ x > –7 Inverteu o sentido

Analisando inequações graficamente A linha vermelha da figura é o gráfico da função y = f(x). Ele é formado por duas semi-retas. A partir dele, resolver as inequações f(x) > 0 e f(x) ≤ 0. Raízes: – 4 e 2. x y 2 –4 f(x) = 0 para x = – 4 ou x = 2 f(x) > 0 para x < – 4 ou x > 2 f(x) ≤ 0 para – 4 ≤ x ≤ 2